Regla de Cramer 1

 



La Resolución del Sistema de Ecuaciones aplicando la Regla de Cramer lo detallemos a continuación:

   \( 3x + 5y - z = 4 \)
   \( -6x + 10y - 3z = 1 \)
    \(9x - 15y + 4z = -1\)


Cálculo del determinante principal \(\Delta\)
El determinante de la matriz de coeficientes se forma con los coeficientes de las variables \(x, y, z\) del sistema ordenado:

\[\Delta = \begin{vmatrix} 3 & 5 & -1 \\ -6 & 10 & -3 \\ 9 & -15 & 4 \end{vmatrix}\]

Utilizando la regla de Sarrus para calcular el determinante:

\(\Delta = (3 \cdot 10 \cdot 4) + (5 \cdot (-3) \cdot 9) + (-1 \cdot (-6) \cdot (-15)) - ((-1) \cdot 10 \cdot 9)\) \( - (3 \cdot (-3) \cdot (-15)) - (5 \cdot (-6) \cdot 4)\)

\(= (120 - 135 - 90) - (-90 + 135 - 120)\)

\(= -105 + 75\)

\(= -30\)


Cálculo de \(\Delta_x\), \(\Delta_y\) y \(\Delta_z\)

Reemplazamos la columna correspondiente de cada variable por el vector de términos independientes del sistema:

Determinante \(\Delta_x\)

\[\Delta_x = \begin{vmatrix} 4 & 5 & -1 \\ 1 & 10 & -3 \\ -1 & -15 & 4 \end{vmatrix}\]

\(\Delta_x = (4 \cdot 10 \cdot 4) + (5 \cdot (-3) \cdot (-1)) + (-1 \cdot 1 \cdot (-15)) \)
        \(\quad - ((-1) \cdot 10 \cdot (-1)) - (4 \cdot (-3) \cdot (-15)) - (5 \cdot 1 \cdot 4) \)
        \(= (160 + 15 + 15) - (10 + 180 + 20) \)
         \(= 190 - 210 \)
         \(= -20\)

Determinante \(\Delta_y\)

\[\Delta_y = \begin{vmatrix} 3 & 4 & -1 \\ -6 & 1 & -3 \\ 9 & -1 & 4 \end{vmatrix}\]

\(\Delta_y = (3 \cdot 1 \cdot 4) + (4 \cdot (-3) \cdot 9) + (-1 \cdot (-6) \cdot (-1))\)
\( \quad - ((-1) \cdot 1 \cdot 9) - (3 \cdot (-3) \cdot (-1)) - (4 \cdot (-6) \cdot 4) \)

         \(= (12 - 108 - 6) - (-9 - 9 - 96) \)

         \(= -102 + 96 \)

         \(= -6\)

Determinante \(\Delta_z\)

\[\Delta_z = \begin{vmatrix} 3 & 5 & 4 \\ -6 & 10 & 1 \\ 9 & -15 & 5 \end{vmatrix}\]

\(\Delta_z = (-30 + 360 + 45) - (360 - 45 + 30) \)
         \(= 375 - 345 \)
         \(= 30\)

Aplicamos la regla de Cramer para obtener los valores de (x, y, z):

   \( x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{-20}{-30} = \frac{2}{3}, \)

   \( y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{-6}{-30} = \frac{1}{5}, \)

   \( z = \frac{\Delta_z}{\Delta} = \frac{30}{-30} = -1\)

Conclusión

La solución del sistema es:

\[(x, y, z) = \left( \frac{2}{3}, \frac{1}{5}, -1 \right).\]

Puedes verificar que el resultado es correcto, si sustituyes los valores correspondientes a cada una de las variables en cualquiera de las ecuaciones del sistema.


Bibliografía:

  • Colegio Nacional de Matemáticas (2009). Matemáticas simplificadas, 2ª ed. México: Pearson educación.

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