Solución de un Examen de Matemáticas: Integrales, limites de dos funciones y derivadas parciales.

Este documento presenta la solución detallada a los ejercicios de un examen de matemáticas, incluyendo integrales, límites y derivadas parciales.

I. Cálculo de la integral definida

Para resolver la integral definida $\int_{1}^{2}(x^{2}+1)dx$, primero se encuentra la antiderivada de la función $f(x)=x^2+1$.

$$ \int(x^2+1)dx = \frac{x^3}{3} + x $$

Luego, se aplica el Teorema Fundamental del Cálculo para evaluar la integral en los límites de integración, de $x=1$ a $x=2$.

$$ \int_{1}^{2}(x^{2}+1)dx = \left[\frac{x^3}{3} + x\right]_{1}^{2} $$

Se evalúa la función en el límite superior (2) y se le resta la evaluación en el límite inferior (1):

$$ = \left(\frac{2^3}{3} + 2\right) - \left(\frac{1^3}{3} + 1\right) $$

$$ = \left(\frac{8}{3} + 2\right) - \left(\frac{1}{3} + 1\right) $$

Para simplificar, se convierten los números enteros a fracciones con un denominador común (3):

$$ = \left(\frac{8}{3} + \frac{6}{3}\right) - \left(\frac{1}{3} + \frac{3}{3}\right) $$

$$ = \frac{14}{3} - \frac{4}{3} = \frac{10}{3} $$

El valor de la integral definida es $\frac{10}{3}$.

Gráfica de la función y área sombreada

La integral definida representa el área bajo la curva de la función $f(x)=x^2+1$ desde $x=1$ hasta $x=2$. 

Para graficar la función y sombrear esta área, se pueden usar los siguientes puntos: 

Para $x=0$, $f(0)=0^2+1=1$. 

Para $x=1$, $f(1)=1^2+1=2$. 

Para $x=2$, $f(2)=2^2+1=5$. 

Para $x=3$, $f(3)=3^2+1=10$. 

 En la gráfica, la función $f(x)=x^2+1$ es una parábola que se abre hacia arriba. 

El área a sombrear es la región delimitada por la curva, el eje x, y las líneas verticales $x=1$ y $x=2$. 

Área bajo la curva de f(x)=x^2+1


II. Integración por cambio de variable

Resolver la integral $\int x\sqrt{x^{2}+1}dx$ utilizando el método de cambio de variable.


    Se define $u = x^2+1$, y la diferencial es $du = 2x\,dx$. Despejando, $x\,dx = \frac{1}{2}du$.

    Sustituyendo en la integral original:

    $$ \int x\sqrt{x^{2}+1}dx = \int \sqrt{u}\left(\frac{1}{2}du\right) = \frac{1}{2}\int u^{1/2}du $$

    Integrando respecto a $u$:

    $$ \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}u^{3/2} + C = \frac{1}{3}u^{3/2} + C $$

    Sustituyendo $u$ de nuevo por $x^2+1$:

    $$ \frac{1}{3}(x^2+1)^{3/2} + C $$


III. Integración por partes

Resolver la integral $\int x^{2}\ln(x)dx$ por partes.

    Se elige $u = \ln(x)$ y $dv = x^2\,dx$.

    Calculando $du$ y $v$:

    $du = \frac{1}{x}\,dx$ y $v = \int x^2\,dx = \frac{x^3}{3}$.

    Aplicando la fórmula $\int u\,dv = uv - \int v\,du$:

    $$ \int x^{2}\ln(x)dx = (\ln(x))\left(\frac{x^3}{3}\right) - \int \left(\frac{x^3}{3}\right)\left(\frac{1}{x}\,dx\right) $$

    $$ = \frac{x^3}{3}\ln(x) - \int \frac{x^2}{3}\,dx $$

    $$ = \frac{x^3}{3}\ln(x) - \frac{1}{3}\left(\frac{x^3}{3}\right) + C = \frac{x^3}{3}\ln(x) - \frac{x^3}{9} + C $$


IV. Integración por fracciones parciales

Resolver la integral $\int\frac{dx}{x^{2}+x-2}$ por fracciones parciales.

Factorizando el denominador: $x^2+x-2 = (x+2)(x-1)$.

Descomponiendo la fracción:

    $$ \frac{1}{(x+2)(x-1)} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-1} $$

    Multiplicando por el denominador común: $1 = A(x-1) + B(x+2)$.

    Si $x=1$, $1 = 3B \Rightarrow B = 1/3$.

    Si $x=-2$, $1 = -3A \Rightarrow A = -1/3$.

    Sustituyendo en la integral:

    $$ \int\left(\frac{-1/3}{x+2} + \frac{1/3}{x-1}\right)dx = -\frac{1}{3}\int\frac{dx}{x+2} + \frac{1}{3}\int\frac{dx}{x-1} $$

    $$ = -\frac{1}{3}\ln|x+2| + \frac{1}{3}\ln|x-1| + C $$

    $$ = \frac{1}{3}\ln\left|\frac{x-1}{x+2}\right| + C $$


V. Límite de una función de varias variables

 Determinar el límite: $\lim_{(x,y)\rightarrow(1,2)}\frac{y-3}{x^{2}+y^{2}}$


    Evaluando directamente en el punto $(1,2)$:

    $$ \frac{2-3}{1^{2}+2^{2}} = \frac{-1}{1+4} = \frac{-1}{5} $$

    El límite es $-\frac{1}{5}$.

VI. Derivadas parciales

Dada la función $f(x,y)=x^{2}y^{2}-4x+2y^{3}$, determinar las derivadas parciales.

$f_{x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^{2}y^{2}-4x+2y^{3}) = 2xy^2 - 4$

$f_{y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^{2}y^{2}-4x+2y^{3}) = 2x^2y + 6y^2$

$f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}(2xy^2 - 4) = 2y^2$

$f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}(2x^2y + 6y^2) = 2x^2 + 12y$


  • Colegio Nacional de Matemáticas. (2009). Matemáticas simplificadas (2ª ed.). México: Pearson Educación.

  • Swokowski, E. W., & Cole, J. (2009). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (12.ª ed.). Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

  • Equipo de Desarrollo de GeoGebra. (2025). GeoGebra (versión 6.0). Recuperado de https://www.geogebra.org/


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