Aplicaciones de la derivada: Un Problema de Razones de Cambio "tanque cilíndrico"

¡Bienvenidos! 

En esta entrada, exploraremos un problema clásico de cálculo diferencial que nos permite ver una aplicación de las \(\textbf{razones de cambio relacionadas}\). A menudo, estas se presentan en situaciones cotidianas, como la velocidad a la que sube el nivel de agua en un tanque. Este ejercicio no solo refuerza los conceptos de la derivada, sino que también nos muestra su utilidad en el mundo real. 

Problema

Se vierte agua en un tanque cilíndrico vertical de 2 metros de radio a razón de 8 metros cúbicos por minuto. ¿A qué razón se está elevando el nivel del agua?

Solución:

Para resolver este problema, utilizaremos la fórmula del volumen de un cilindro y la derivaremos con respecto al tiempo.

Imagen que recrea el problema 


1. Identificación de variables que contiene el problema

Definimos las variables y las tasas de cambio dadas:


 $V$: Volumen del agua en el tanque (en $m^3$).

 $r$: Radio del tanque (constante, $r = 2$ m).

 $h$: Altura o nivel del agua (en m).

 $\dfrac{dV}{dt}$: Razón de cambio del volumen, dada como $8 \ m^3/min$.

 $\dfrac{dh}{dt}$: Razón de cambio de la altura (lo que queremos encontrar).

Descripción grafica del problema



2. Escribimos la fórmula del volumen del cilindro 

La fórmula para el volumen de un cilindro es:

$$V = \pi r^2 h$$

Dado que el radio $r$ es constante e igual a 2 metros, podemos sustituir este valor en la ecuación:

$$V = \pi (2)^2 h \implies V = 4\pi h$$


3. Derivamos el volumen con respecto al tiempo

Ahora, derivamos ambos lados de la ecuación del volumen con respecto al tiempo $t$. Esto nos permitirá relacionar las tasas de cambio.

$$\frac{d}{dt}(V) = \frac{d}{dt}(4\pi h)$$

$$\frac{dV}{dt} = 4\pi \frac{dh}{dt}$$


4. Sustitución y cálculo

Finalmente, sustituimos el valor conocido de $\dfrac{dV}{dt}$ y resolvemos para $\dfrac{dh}{dt}$:

$$8 = 4\pi \frac{dh}{dt}$$

Despejamos $\dfrac{dh}{dt}$, para obtener:

$$\frac{dh}{dt} = \frac{8}{4\pi} = \frac{2}{\pi}$$

Para un valor numérico aproximado:

$$\frac{dh}{dt} \approx 0.6366 \ m/min$$


En GeoGebra

  1. Primero, crea el deslizador h para la altura. h = Deslizador(0, 3)

  2. Luego, define los puntos de la base y la tapa. Punto1 = (0, 0, 0) Punto2 = (0, 0, h)

  3. Finalmente, usa el comando Cilindro con el radio de 2. Cilindro(Punto1, Punto2, 2)

Al mover el deslizador h, verás cómo el cilindro se "llena" dinámicamente, representando el nivel del agua que sube con el tiempo. 

Representación del cilindro en GeoGebra

Conclusión

El nivel del agua en el tanque se está elevando a una razón de $\dfrac{2}{\pi}$ metros por minuto, lo que es aproximadamente $0.637$ metros por minuto. Este ejercicio demuestra cómo el cálculo nos proporciona las herramientas necesarias para resolver problemas dinámicos en los que una cantidad depende de otra a lo largo del tiempo.

Espero que esta información te sea de utilidad para seguir explorando sobre los alcances de las matemáticas.


  • Arenívar, L. A. (2017). Cálculo diferencial/Luis Alonso Arenívar (1a. ed.). Editorial Universidad Don Bosco.

  • Swokowski, E. W., & Cole, J. (2009). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (12.ª ed.). Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

  • Equipo de Desarrollo de GeoGebra. (2025). GeoGebra (versión 6.0). Recuperado de https://www.geogebra.org/


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