¿Por qué la derivada de una constante es cero?

Hola a todos. 

En esta entrada responderemos la siguiente pregunta. ¿Por qué la derivada de una constante es cero? 

La derivada de cualquier constante ($c$) es cero ($\frac{d}{dx}c = 0$) es una de las primeras reglas que aprendemos en el cálculo diferencial. Para responder la pregunta es necesario hacer un breve repaso sobre ¿Qué es la derivada?

Es necesario recordar la definición de derivada. En términos simples, la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto. Es una medida de la tasa de cambio instantánea de la función. Matemáticamente, la derivada de una función $f(x)$ se define como el siguiente límite:

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

Este límite representa la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos $(x, f(x))$ y $(x+h, f(x+h))$ a medida que el punto $(x+h, f(x+h))$ se acerca infinitamente al punto $(x, f(x))$.

A partir de esta definición es posible demostrar que la derivada de una constante es cero.

Consideremos una función constante. Por definición, una función constante es aquella que, sin importar el valor de $x$, siempre devuelve el mismo valor. Por ejemplo, $f(x) = 5$. Para cualquier valor de $x$ que escojas, el resultado siempre será 5.

En general, podemos representar cualquier función constante como $f(x) = c$, donde $c$ es un número real cualquiera.

Ahora, apliquemos la definición de la derivada a nuestra función constante $f(x) = c$.

Primero, necesitamos encontrar $f(x+h)$. Dado que nuestra función es constante, sin importar lo que pongamos en los paréntesis, el resultado será el mismo. Por lo tanto, $f(x+h) = c$.

Ahora, sustituyamos estos valores en la fórmula del límite:

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{c - c}{h}$$

En el numerador, tenemos $c - c$, que es igual a 0.

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h}$$

Cualquier número (distinto de cero) dividido por cero es 0. El límite se convierte en:

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} 0$$

Y el límite de una constante (en este caso, 0) es simplemente esa constante.

$$f'(x) = 0$$

Por lo tanto hemos demostrado usando la definición formal de la derivada, que la derivada de cualquier función constante es cero.

Por ejemplo:

$\frac{d}{dx}10 = 0$

$\frac{d}{dx}(-0.25) = 0$

$\frac{d}{dx}(1/4) = 0$

Piensa en la gráfica de una función constante, como $f(x) = 5$. La gráfica es una línea horizontal perfecta.

¿Cuál es la pendiente de una línea horizontal? Es cero.

¿Cuál es la tasa de cambio de una línea horizontal? No cambia. Siempre se mantiene en la misma altura. Por lo tanto, su tasa de cambio instantánea es cero.

La definición de la derivada, que mide la tasa de cambio o la pendiente, simplemente confirma lo que ya sabemos de forma intuitiva.

Cada vez que usamos la regla de la derivada de una constante, recuerda que es una consecuencia lógica y fundamental de lo que la derivada realmente significa: la medición de la tasa de cambio instantánea.

Una manera excelente de visualizar esto es con GeoGebra. Observa cómo la pendiente de la recta tangente a una función constante siempre es cero.

 Visualización en GeoGebra de una función constante y su recta tangente, cuya pendiente es siempre cero.


 Espero que esta entrada les sea de gran ayuda para su auto estudio. 

¡Hasta pronto!


  • Colegio Nacional de Matemáticas. (2009). Matemáticas simplificadas (2ª ed.). México: Pearson Educación.

  • Swokowski, E. W., & Cole, J. (2009). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (12.ª ed.). Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

  • Equipo de Desarrollo de GeoGebra. (2025). GeoGebra (versión 6.0). Recuperado de https://www.geogebra.org/


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