¿Cuál es la derivada de f(x) = raíz(x)?

¡Hola a todos! 

¿Cuál es la derivada de $f(x) = \sqrt{x}$?

Hoy resolveremos este ejemplo clásico sobre derivadas de funciones expresadas en forma de raíz.

Primero reescribimos la función que esta dada en forma de raíz a una función con exponente fraccionario aplicando la regla para Convertir Radicales a Exponentes Fraccionarios.

Recordemos la regla para expresar un radical como un exponente fraccionario

$$ \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} $$

Donde:

$a$ es la base.

$m$ es el exponente de la base dentro del radical.

$n$ es el índice del radical (el número que indica qué raíz se está extrayendo: raíz cuadrada si $n=2$, raíz cúbica si $n=3$, etc.).

Casos Comunes 

Raíz cuadrada de una base sin exponente explícito:

Si tienes $\sqrt{a}$, esto es equivalente a $\sqrt[2]{a^1}$. Aplicando la regla:

$$ \sqrt{a} = \sqrt[2]{a^1} = a^{\frac{1}{2}} $$


Raíz cuadrada de una base con exponente:

Si tienes $\sqrt{a^m}$, esto es equivalente a $\sqrt[2]{a^m}$. Aplicando la regla:

$$ \sqrt{a^m} = \sqrt[2]{a^m} = a^{\frac{m}{2}} $$


Raíz cúbica de una base sin exponente explícito:

Si tienes $\sqrt[3]{a}$, esto es equivalente a $\sqrt[3]{a^1}$. Aplicando la regla:

$$ \sqrt[3]{a} = \sqrt[3]{a^1} = a^{\frac{1}{3}} $$


Raíz cúbica de una base con exponente:

Si tienes $\sqrt[3]{a^m}$, aplicando la regla:

$$ \sqrt[3]{a^m} = a^{\frac{m}{3}} $$

En resumen, el exponente de la base dentro del radical se convierte en el numerador de la fracción del exponente, y el índice del radical se convierte en el denominador.

Una vez recordado lo anterior regresamos a nuestro ejercicio.

Primero reescribimos la función 

$f(x) = x^{\frac{1}{2}}$

Segundo aplicamos la regla de la derivada 

$f'(x) = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}$

Tercero simplificamos 

$f'(x) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$

Cuarto aplicamos la regla del exponente negativo

$f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Finalmente obtenemos la derivada

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Espero que esta información sea de ayuda para interesarte por el estudio de las derivadas de funciones expresadas en forma radical.


  • Colegio Nacional de Matemáticas. (2009). Matemáticas simplificadas (2ª ed.). México: Pearson Educación.

  • Swokowski, E. W., & Cole, J. (2009). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (12.ª ed.). Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

  • Equipo de Desarrollo de GeoGebra. (2025). GeoGebra (versión 6.0). Recuperado de https://www.geogebra.org/


⚡ Mini Test: Derivada de la Raíz

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