Solución Detallada de un examen de Matemática II

¡Bienvenidos! 

La presente publicación ofrece la resolución paso a paso de los ejercicios de una variante de examen de Matemática II, cubriendo temas esenciales como: integrales indefinidas, cambio de variable, integración por partes, fracciones parciales, límites de funciones de varias variables y derivadas parciales, además de una aplicación de la integral definida para el cálculo de áreas.


I. Integral Indefinida .

1. Resuelve la integral indefinida:

$$\int(4x^{3}-3x^{2}+2)dx$$


Solución:

Aplicamos la propiedad de linealidad de la integral y la regla de la potencia $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:


$$\int(4x^{3}-3x^{2}+2)dx = 4\int x^{3}dx - 3\int x^{2}dx + 2\int dx $$

$$= 4\left(\frac{x^{4}}{4}\right) - 3\left(\frac{x^{3}}{3}\right) + 2x + C $$

$$= x^{4} - x^{3} + 2x + C$$


Donde $C$ es la constante de integración.


II. Integración por Cambio de Variable.

1. Utiliza el método de cambio de variable para resolver la siguiente integral. Muestra los pasos correctos para llegar a la solución.

$$\int x\sqrt{x^{2}+4}dx$$


Solución:

Hacemos la siguiente sustitución:

$$u = x^{2}+4 $$

$$du = 2x \, dx$$


Despejamos $x \, dx$:

$$x \, dx = \frac{1}{2}du$$

Sustituimos en la integral:


$$\int x\sqrt{x^{2}+4}dx = \int \sqrt{u} \left(\frac{1}{2}du\right) $$

$$= \frac{1}{2}\int u^{1/2} du $$

$$= \frac{1}{2} \left(\frac{u^{1/2 + 1}}{1/2 + 1}\right) + C $$

$$= \frac{1}{2} \left(\frac{u^{3/2}}{3/2}\right) + C $$

$$ =\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} + C $$

$$= \frac{1}{3} u^{3/2} + C$$


Finalmente, reemplazamos $u = x^{2}+4$:

$$\int x\sqrt{x^{2}+4}dx = \mathbf{\frac{1}{3} (x^{2}+4)^{3/2} + C}$$


III. Integración por Partes.

Resuelve la siguiente integral por partes. Muestra los pasos correctos para llegar a la solución.

$$\int xe^{3x}dx$$


Solución:

Utilizamos la fórmula de integración por partes: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.

Elegimos $u$ y $dv$.


$$u = x \quad \implies du = dx $$

$$dv = e^{3x}dx \quad \implies v = \int e^{3x}dx = \frac{1}{3}e^{3x}$$


Sustituimos en la fórmula:


$$\int xe^{3x}dx = x \left(\frac{1}{3}e^{3x}\right) - \int \left(\frac{1}{3}e^{3x}\right) dx $$

$$= \frac{1}{3}xe^{3x} - \frac{1}{3}\int e^{3x} dx $$

$$= \frac{1}{3}xe^{3x} - \frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}e^{3x}\right) + C $$

$$= \mathbf{\frac{1}{3}xe^{3x} - \frac{1}{9}e^{3x} + C}$$


IV. Integración por Fracciones Parciales.

Resuelve la siguiente integral aplicando el método de integrales por fracciones parciales.

$$\int\frac{dx}{x^{2}+5x+6}$$


Solución:

$$\text{Factorizar el denominador:}$$

    $$x^{2}+5x+6 = (x+2)(x+3)$$

$$\text{Descomponer en fracciones parciales:}$$

    $$\frac{1}{x^{2}+5x+6} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x+3}$$

    $$\text{Multiplicamos por el denominador común:}$$

    $$1 = A(x+3) + B(x+2)$$

$$\text{Encontrar los valores de $A$ y $B$:}$$

Si $x=-2$: $A=1$

Si $x=-3$: $B=-1$


$$\textbf{Reescribir e integrar:}$$

    $$\int\frac{dx}{x^{2}+5x+6} = \int\left(\frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3}\right)dx$$

    Aplicamos $\int \frac{1}{u} du = \ln|u| + C$:

  

$$    \int\frac{dx}{x^{2}+5x+6} = \ln|x+2| - \ln|x+3| + C$$

    

    Usando la propiedad de los logaritmos:

    $$\int\frac{dx}{x^{2}+5x+6} = \mathbf{\ln\left|\frac{x+2}{x+3}\right| + C}$$



V. Límite de Función de Varias Variables.

Determina el límite de la siguiente función

$$\lim_{(x,y)\rightarrow(1,1)}\frac{x^{2}-y^{2}}{x-y}$$

Solución:

Factorizamos el numerador: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.

$$\lim_{(x,y)\rightarrow(1,1)}\frac{x^{2}-y^{2}}{x-y} = \lim_{(x,y)\rightarrow(1,1)}\frac{(x-y)(x+y)}{x-y} $$

$$= \lim_{(x,y)\rightarrow(1,1)}(x+y) \quad \text{(Para } x \neq y\text{)}$$


Ahora, sustituimos $(x,y)=(1,1)$:

$$\lim_{(x,y)\rightarrow(1,1)}(x+y) = 1 + 1 = \mathbf{2}$$


VI. Derivadas Parciales.

Dada la función $f(x,y)=3x^{4}y^{2}-2x^{2}y^{3}+5x$, determina las derivadas parciales indicadas.

Solución:


$$\text{Primera derivada parcial respecto a $x$ ($f_x$):}$$

    $$\mathbf{f_{x} = 12x^{3}y^{2} - 4xy^{3} + 5}$$


$$\text{Primera derivada parcial respecto a $y$ ($f_y$):}$$

    $$\mathbf{f_{y} = 6x^{4}y - 6x^{2}y^{2}}$$


 $$\text{Segunda derivada parcial respecto a $x$ dos veces ($f_{xx}$):}$$

    $$\mathbf{f_{xx} = 36x^{2}y^{2} - 4y^{3}}$$


 $$\text{Segunda derivada parcial respecto a $y$ dos veces ($f_{yy}$):}$$

    $$\mathbf{f_{yy} = 6x^{4} - 12x^{2}y}$$


VII. Área bajo la Curva.

Calcula el área de la región delimitada por la curva $f(x)=x^{2}+1$, el eje $x$ y las líneas verticales $x=0$ y $x=3$.


Solución:

El área $A$ de la región delimitada se calcula mediante la integral definida:

$$A = \int_{0}^{3} (x^{2}+1) dx$$


    $$\text{Calcular la integral indefinida:}$$

    $$\int (x^{2}+1) dx = \frac{x^{3}}{3} + x$$

    $$\text{Evaluar en los límites de integración:}$$

   

    $$A = \left[ \frac{x^{3}}{3} + x \right]_{0}^{3} $$

   $$= \left( \frac{3^{3}}{3} + 3 \right) - \left( \frac{0^{3}}{3} + 0 \right) $$

    $$= 9 + 3 $$

   $$ A = \mathbf{12 \text{ unidades cuadradas}}$$

    

Espero que esta variante de examen te sea de utilidad para seguir explorando, practicando y estudiando sobre los temas abordados. Lo importante no es aprenderse los ejercicios de memoria sino dominar los procedimientos correctos que nos lleven al resultado final.


  • Arenívar, L. A. (2017). Cálculo diferencial/Luis Alonso Arenívar (1a. ed.). Editorial Universidad Don Bosco.

  • Swokowski, E. W., & Cole, J. (2009). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (12.ª ed.). Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

  • Equipo de Desarrollo de GeoGebra. (2025). GeoGebra (versión 6.0). Recuperado de https://www.geogebra.org/


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