¿Cuánto tiempo le tomará liquidar su préstamo?. Una aplicación de las sucesiones aritméticas.


¿Alguna vez te has preguntado cuánto tiempo te tomaría pagar una deuda si aumentas tus pagos cada mes?

En la vida diaria existen una gran variedad de las aplicaciones de las matemáticas y una de ellas las podemos evidenciar en el planteamiento y solución del siguiente problema. 

Un hombre salda un préstamo de $ 3250, pagando en el primer mes $ 20 y después aumentando el pago en $ 15 cada mes. ¿Cuánto tiempo le tomará liquidar su préstamo? (Arya & Lardner, 2009).

Solución: En este problema, los pagos mensuales forman una sucesión aritmética, ya que cada pago es $15 más que el anterior. Esto significa que podemos modelar la situación utilizando una fórmula específica para calcular la suma de los términos de una sucesión aritmética.

En este caso identificamos que la suma de los n términos es \(S_n=$ 3250\), el primer termino es de \($ 20\) y la diferencia común es de \(d=$ 15\) donde n representa el número de pagos a realizar para saldar la deuda.

La fórmula que nos permite determinar la suma de los primeros n términos de una sucesión aritmética es: \(S_n=\frac{n}{2}[2*a_1-(n-1)d]\)

Si sustituimos cada una de las variables conocidas y las simplificamos obtenemos una ecuación cuadrática en términos de n. 

 \[3250=\frac{n}{2}[2(20)-(n-1)15]\]

\[3250=\frac{n}{2}[40+15n-15]\]

\[3250=\frac{n}{2}[25+15n]\]

\[6500=25n+15n^2\]

\[15n^2+25n-6500=0\]

Resolvemos esta ecuación cuadrática para n, donde a=15, b=25 y c=-6500.

\[n=\frac{-(25) \pm \sqrt{(25)^2 - 4(15)(-6500)}}{2(15)}\]

\[n=\frac{-25 \pm \sqrt{625+390000}}{30}\]

\[n=\frac{-25 \pm \sqrt{390625}}{30}\]

\[n=\frac{-25 \pm{625}}{30}\]

\[n1=\frac{-25 + 625}{30}=20\]

\[n2=\frac{-25 - 625}{30}=-21.6667\]

Tomamos como resultado correcto la respuesta positiva y descartamos la respuesta negativa.

Por lo tanto la deuda se saldará en 20 meses o \(\frac{5}{3}=1.6667\) años.

Bibliografía: Arya, J. C., & Lardner, R. W. (Año). Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía. (V. H. Ibarra Mercado, Trad. y Rev. Téc.). Universidad Anáhuac-México Norte.

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