Cómo Resolver Integrales inmediatas con Raíces en el Denominador: solución paso a paso de un ejemplo

¡Hola a todos!

En esta entrada, vamos a resolver una integral que es un excelente ejemplo de cómo aplicar las propiedades de las potencias y las reglas básicas de integración. A menudo, las raíces cúbicas y cuartas pueden parecer intimidantes, pero verán que con los pasos correctos, el proceso es muy sencillo. 

Resolver la siguiente integral

\[\int \left( \frac{4}{\sqrt[3]{x}} - \frac{5}{\sqrt[4]{x}} \right) dx \]

\[\text{Solución:} \]

\[\text{Reescribimos la integral} \]

\[\int \left( \frac{4}{x^{1/3}} - \frac{5}{x^{1/4}} \right) dx\]

\[\int \left( 4x^{-\frac{1}{3}} - 5x^{-\frac{1}{4}} \right) dx \]


\[\text{Separamos en dos integrales} \]

\[4 \int x^{-\frac{1}{3}} dx - 5 \int x^{-\frac{1}{4}} dx \]


\[\text{Integramos} \]

\[4 \frac{x^{-\frac{1}{3}+1}}{-\frac{1}{3}+1} - 5 \frac{x^{-\frac{1}{4}+1}}{-\frac{1}{4}+1} + C \]


\[4 \frac{x^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} - 5 \frac{x^{\frac{3}{4}}}{\frac{3}{4}} + C \]


\[4 \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} - 5 \cdot \frac{4}{3} x^{\frac{3}{4}} + C \]


\[6 x^{\frac{2}{3}} - \frac{20}{3} x^{\frac{3}{4}} + C \]


\[6 \sqrt[3]{x^2} - \frac{20}{3} \sqrt[4]{x^3} + C \cdot \text{respuesta final}\]


Para la resolución del ejercicio, hemos utilizado la siguiente propiedad de los radicales para reescribirlos como exponentes fraccionarios: \[ \sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}\]

\[\textbf{Ejemplo:}\]  

$$\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}} $$

 $$ \sqrt[4]{x} = x^{\frac{1}{4}} $$ 

\[ \text{Propiedades de las Potencias (Exponentes)}\]

También se aplican las propiedades de las potencias, especialmente para mover términos del denominador al numerador: 

$$ \frac{1}{x^n} = x^{-n} $$ 

$$\textbf{Ejemplo:}$$

 $$ \frac{1}{x^{1/3}} = x^{-\frac{1}{3}} $$ $$ \frac{1}{x^{1/4}} = x^{-\frac{1}{4}} $$ 

$$\text{Regla de Integración}$$

La regla fundamental de integración utilizada para las funciones de potencia es: 

$$ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (\text{para } n \neq -1) $$ Donde \(C\) es la constante de integración.


Esperamos que esta solución paso a paso les haya sido útil. 



Swokowski, E. W., & Cole, J. (2009). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica (Décimo Segunda edición). Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

Colegio Nacional de Matemáticas (2009). Matemáticas simplificadas, 2ª ed. México: Pearson educación.

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