El problema del Llenado de una piscina con dos mangueras
¡Bienvenidos!
🚀 Trabajo en Equipo: ¿Qué tan rápido podemos llenar una piscina?
📝 Introducción
Actualmente en algunas situaciones de la vida real existen tareas que se pueden realizar en equipo. Estimar los tiempos de ahorro en la culminación de una tarea al aumentar miembros al equipo es importante para la buena gestión del tiempo. Imagina que tienes una tarea que realizar y decides pedir ayuda. Es lógico pensar que terminarás más rápido, ¿pero qué tanto? En matemáticas, cuando dos agentes (como mangueras, máquinas o personas) trabajan juntos, no sumamos sus tiempos, sino sus tasas de trabajo.
En esta entrada, resolveremos un problema práctico sobre el llenado de una piscina utilizando dos mangueras de distinto tamaño. Este ejercicio, tomado de Swokowski y Cole (2009), es ideal para entender cómo las fracciones modelan la eficiencia y el tiempo en la vida real.
🧠 El Desafío
Una piscina se puede llenar con una manguera en 8 horas. Si se usa una segunda manguera más grande, la piscina se llena en 5 horas.
¿Cuánto tardaría en llenarse si ambas mangueras se usaran simultáneamente?
🛠️ Solución Paso a Paso
Para resolver esto, debemos pensar en términos de "qué parte de la piscina se llena en una unidad de tiempo (1 hora)". A esto le llamamos tasa de trabajo.
Paso 1: Determinar las tasas individuales
Manguera 1: Si tarda 8 horas, en una sola hora llena $1/8$ de la piscina.
Manguera 2: Si tarda 5 horas, en una sola hora llena $1/5$ de la piscina.
Paso 2: Calcular la tasa combinada
Cuando ambas mangueras trabajan juntas, sus capacidades se suman. Llamemos $t$ al tiempo total que tardarán juntas:
Para sumar estas fracciones, buscamos un denominador común (en este caso, 40): hacemos uso de fracciones equivalentes multiplicamos por $\frac{5}{5}$ la primera fracción y por $\frac{8}{8}$ la segunda fracción y así obtener fracciones equivalentes y poderlas sumar.
$$\text{Tasa total} = \frac{1}{8} \cdot \frac{5}{5}+ \frac{1}{5} \cdot \frac{8}{8}$$
Esto significa que, juntas, las mangueras llenan $13/40$ de la piscina por cada hora.
Paso 3: Plantear la ecuación final
Si la tasa combinada es $13/40$ de piscina por hora, el tiempo total $t$ para completar 1 piscina es:
Despejamos $t$:
Paso 4: Conversión a tiempo real
$3.0769 \text{horas}=3 \text{horas}+0.0769 \text{horas}$
- $$ = 3 \text{ horas} + \left( 0.0769 \text{ horas} \cdot \frac{60 \text{ min}}{1 \text{ horas}} \right)$$$$=3 \text{ horas} + 4.6 \text{ min}$$
Resultado: Tardarán aproximadamente 3 horas y 5 minutos.
📊 Visualización del Progreso
Para entender mejor cómo se llena la piscina hora tras hora, observa la siguiente tabla comparativa:
| Tiempo Transcurrido | Fracción de la Piscina Llena | Porcentaje Aproximado |
| 0 Horas | $0$ | $0\%$ |
| 1 Hora | $13/40$ | $32.5\%$ |
| 2 Horas | $26/40$ | $65\%$ |
| 3 Horas | $39/40$ | $97.5\%$ |
| 3h 5min | $40/40$ | $100\%$ (¡Llena!) |
Grafico 1: fracción de llenado de la piscina con ambas mangueras
Fuente: elaboración propia
💡 Conclusión
¡Es sorprendente! Usar las dos mangueras reduce el tiempo significativamente. Notemos que el resultado (aprox. 3 horas) es menor que el tiempo de la manguera más rápida sola (5 horas), lo cual tiene sentido lógico: si ya tenías una manguera rápida y añades otra, el tiempo debe disminuir inevitablemente.
Dominar este concepto de tasas de trabajo es fundamental para entender procesos de producción, logística e incluso ingeniería.
⚠️ Nota importante:
⚠️ Nota importante:
Siempre que resuelvas problemas de este tipo, recuerda: Nunca sumes los tiempos directamente ($8 + 5 = 13$). En el mundo real, más recursos trabajando juntos significan menos tiempo, por lo que siempre debemos sumar las capacidades (tasas) de trabajo.
Es fundamental considerar que este cálculo ocurre bajo condiciones ideales. En la práctica, al abrir ambas mangueras simultáneamente, podrían ocurrir variaciones en la presión del agua; esto alteraría el caudal de cada manguera y, por consecuencia, el tiempo real de llenado diferiría del valor teórico calculado.
⚠️ Nota importante:
Siempre que resuelvas problemas de este tipo, recuerda: Nunca sumes los tiempos directamente ($8 + 5 = 13$). En el mundo real, más recursos trabajando juntos significan menos tiempo, por lo que siempre debemos sumar las capacidades (tasas) de trabajo.
Es fundamental considerar que este cálculo ocurre bajo condiciones ideales. En la práctica, al abrir ambas mangueras simultáneamente, podrían ocurrir variaciones en la presión del agua; esto alteraría el caudal de cada manguera y, por consecuencia, el tiempo real de llenado diferiría del valor teórico calculado.
Espero que el ejemplo abordado haya sido de mucha utilidad en tus estudios por entender los alcances e importancia de las fracciones.
Resumen: Guía practica para resolver problemas de este tipo
Paso 1: Piensa en Porciones (Tasas)
No sumes las horas. Suma cuánto hace cada uno en una hora.
Si tardo $X$ horas, mi tasa es $1/X$.
Paso 2: Suma de Capacidades
Suma las fracciones usando un denominador común.
$\frac{1}{\text{Tiempo}_1} + \frac{1}{\text{Tiempo}_2} = \text{Tasa Combinada}$
Paso 3: El Paso Final (El Inverso)
Para hallar el tiempo total, simplemente invierte la fracción resultante.
Si la tasa es $13/40$, el tiempo es $40/13$.
📚 Bibliografía
Swokowski, E. W., & Cole, J. A. (2009). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (12.ª ed.). Cengage Learning.
Swokowski, E. W., & Cole, J. A. (2009). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (12.ª ed.). Cengage Learning.
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