¿Qué son los errores numéricos?

¿Qué son los errores numéricos? 

Entender el concepto de error es tan importante para utilizar en forma efectiva los métodos numéricos debido a que estos generan soluciones por medio de aproximaciones. Paradójicamente se dice que las matemáticas son exactas sin embargo desde el punto de vista del análisis numérico debemos utilizar aproximaciones o cálculo de errores, en este sentido se estudian los dos tipos de errores más comunes, el error de redondeo y el error de truncamiento.

Error de redondeo: se debe a que las computadoras solo presenta cantidades con números finitos de dígitos, es decir que el redondeo consiste en aproximar un número a un valor más cercano dentro de un conjunto de valores representables.

El error de redondeo es la diferencia entre el valor exacto de un número y su valor aproximado cuando se redondea a un número específico de cifras significativas o decimales.

Ejemplo: al redondear π (3.141592...) a dos cifras decimales, obtenemos 3.14. El error de redondeo en este caso es:

Ejemplo: Al representar 1/3 en una computadora, se redondea a un número finito de decimales, como 0.33333.  

Causas de los errores de redondeo:

Precisión limitada: Las computadoras tienen un número finito de bits para representar números. Los números tales como \(\pi\), \(e\) o \(\sqrt7\) no pueden expresarse con un número fijo de cifras significativas. Por lo tanto, no pueden ser representados exactamente por la computadora. Las computadoras utilizan una aproximación que sólo contiene un número fijo de bits (dígitos binarios) o bytes (paquetes de 8 bits).

Representación en coma flotante: Los números en coma flotante se representan utilizando una forma estándar que permite almacenar tanto números muy grandes como muy pequeños en un formato comprimido. Se basan en el concepto de notación científica, donde un número se expresa como el producto de una mantisa (un número base) y una potencia e de base b.

En términos generales \(mb^e\), donde m es la mantisa, b es la base del sistema numérico que se va a utilizar y e es el exponente. 

Por ejemplo, el número 156.78 se representa como \(0.15678 × 10^3\) en un sistema de base 10 de punto flotante.

En el caso de los sistemas de coma flotante, se usa base 2, por lo que el número se representa como:

\(m\times 2^e\)

Donde:

m es la mantisa (también llamada significando), que representa los dígitos significativos del número.

e es el exponente, que desplaza el punto decimal (o coma) a la posición correcta.

Consecuencias:

Pérdida de precisión: A medida que se realizan más cálculos, los errores de redondeo se acumulan. Este error puede ser acumulativo si se realizan varias operaciones aritméticas usando valores redondeados. 

Resultados incorrectos: En algunos casos, los errores de redondeo pueden llevar a resultados completamente erróneos.

Ejemplos:

  • Al momento de realizar cálculo de raíces cuadradas de números muy grandes o muy pequeños.
  • Sumas de muchos números muy pequeños.

Errores de Truncamiento

¿Qué es el truncamiento?

 Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproximación en lugar de un procedimiento matemático exacto. 

El error de truncamiento es el error que ocurre cuando se utiliza una aproximación simplificada para representar una función matemática, una serie infinita o una operación, omitiendo parte de la información. A diferencia del error de redondeo, que se debe a la limitación en el número de cifras significativas, el error de truncamiento surge cuando se "corta" o se interrumpe el cálculo antes de completarlo.

Ejemplo: Al truncar π a dos decimales, obtenemos 3.14.

Ejemplos comunes de error de truncamiento cuando usamos series infinitas: Muchas funciones matemáticas, como las exponenciales, senos o cosenos, pueden representarse como una serie infinita de términos. Si se decide aproximar la función sumando solo algunos de esos términos, se comete un error de truncamiento al descartar los términos restantes.

Causas de los errores de truncamiento:

  • Limitación en la representación: Al almacenar un número con menos dígitos, se pierde información.
  • Aproximaciones en cálculos: En algunos algoritmos, se truncan términos de una serie infinita para obtener una aproximación.
Consecuencias:
  • Pérdida de precisión: Similar a los errores de redondeo, el truncamiento reduce la precisión de los resultados.
En resumen, los errores de redondeo y truncamiento son inherentes a los cálculos numéricos realizados por computadoras debido a las limitaciones en la representación de números reales. El error de redondeo surge al aproximar un número real a un número de punto flotante con un número finito de dígitos, mientras que el error de truncamiento se produce al aproximar un proceso matemático infinito por uno finito. Ambos tipos de errores pueden acumularse y afectar significativamente la precisión de los resultados, especialmente en cálculos complejos.

Bibliografía:

Chapra, S. C., & Canale, R. P. (2007). Métodos numéricos para ingenieros (5ª ed.). McGraw-Hill.



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