Método de iteración punto fijo


Método de iteración punto fijo.

Este método pertenece a métodos abiertos. En análisis numérico los métodos abiertos se basan en fórmulas que requieren únicamente de un solo valor de inicio \(x_0\), o que empiecen con un par de ellos, pero que no necesariamente encierran la raíz. Éstos, algunas veces divergen o se alejan de la raíz verdadera a medida que se avanza en el cálculo. Sin embargo, cuando los métodos abiertos convergen lo hacen mucho más rápido que los métodos cerrados. (Chapra & Canale, 2007).


¿Cómo funciona el método?

Al arreglar la ecuación f(x)=0 de tal manera que x esté al lado izquierdo de la ecuación x=g(x) (es decir despejar x en términos de x), esto se logra al realizar operaciones algebraicas o simplemente sumando x en cada lado de la ecuación original. Al obtener este despeje \(x=g(x)\) obtenemos una función iterativa nos proporcionará las aproximaciones sucesivas a la raíz en función de los valores anteriores de x, este medo requiere de un valor inicial razonable \(x_0\) para que inicien las iteraciones. De esta manera la expresión, \(x=g(x)\) se convierte en \[x_{i+1}=g(x_i)\]


Por ejemplo para determinar las raíces de la ecuación \(f(x)=e^{-x}-x\), aplicando iteración punto fijo despejamos x en función de x, es decir. \(x=e^{-x}\), esta ecuación se convierte en la forma iterativa \[x_{i+1}=e^{-x_i}\]

 

Además, observemos que la grafica de la ecuación sugiere que hay un corte de la función con el eje x en un valor aproximado a x=0.5455 y que esta función evaluada en este valor f(0.5455) es aproximadamente igual a cero. 

Grafica de la función f(x)=e^-x-x
Grafica de la función f(x)=e^-x-x



Realizamos las iteraciones requeridas de acuerdo al despeje realizado.


Iniciamos con \(x_0=0\)


Calculamos \(x_1\)


\(x_{0+1}=e^{-x_0}\)


\(x_{1}=e^{-x_0}\)


\(x_{1}=e^{-0}\)


\(x_{1}=1\)



Calculamos \(x_2\)


\(x_{1+1}=e^{-x_1}\)


\(x_{2}=e^{-x_1}\)


\(x_{2}=e^{-1}\)


\(x_{2}=0.3679\)



Calculamos \(x_3\)


\(x_{2+1}=e^{-x_2}\)


\(x_{3}=e^{-x_2}\)


\(x_{3}=e^{-0.3679}\)


\(x_{3}=0.6922\)


Y así, sucesivamente hasta considerar que el error aproximado porcentual sea menor que un valor de tolerancia preestablecido.

El calculo del error aproximado se determina por medio de la formula. 

\( E_{a\%} = \left| \frac{x_{i+1} - x_i}{x_{i+1}} \right| *100\)

En un archivo de Excel las primeras 20 iteraciones se verían así, junto con su etiqueta de parada de acuerdo a una tolerancia de 0.01. y observamos que nos detenemos en la iteración 20 cuando alcanzamos un error menor que la tolerancia establecida y una raíz de 0.56716.

itertaciónx_iea%Etiqueta
00
11100Seguir iterando
20,36788171,82818Seguir iterando
30,6922046,85364Seguir iterando
40,5004738,30915Seguir iterando
50,6062417,44679Seguir iterando
60,5454011,15662Seguir iterando
70,579615,90335Seguir iterando
80,560123,48087Seguir iterando
90,571141,93080Seguir iterando
100,564881,10887Seguir iterando
110,568430,62442Seguir iterando
120,566410,35557Seguir iterando
130,567560,20120Seguir iterando
140,566910,11426Seguir iterando
150,567280,06475Seguir iterando
160,567070,03674Seguir iterando
170,567190,02083Seguir iterando
180,567120,01182Seguir iterando
190,567160,00670Detenerse


Código de Matlab
% Definir la función g(x) tal que x = g(x)
g = @(x) exp(-x); % Ejemplo: x = exp(-x)
% Parámetros iniciales
x0 = 0; % Valor inicial
tol = 0.01; % Tolerancia (en porcentaje, por lo que debería ser más grande, por ejemplo 0.01)
max_iter = 100; % Número máximo de iteraciones
% Iteración de punto fijo
fprintf('Iteración \t x_n \t\t Error\n');
for iter = 1:max_iter
x1 = g(x0); % Aplicar la función g(x)
error = abs((x1 - x0) / x1) * 100; % Calcular el error porcentual
fprintf('%d \t\t %.8f \t %.8f\n', iter, x1, error);
if error < tol % Condición de convergencia
fprintf('Convergencia alcanzada en %d iteraciones.\n', iter);
break;
end
x0 = x1; % Actualizar x para la siguiente iteración
end
if iter == max_iter
fprintf('No se alcanzó la convergencia en el número máximo de iteraciones.\n');
end
Bibliografía:

Chapra, S. C., & Canale, R. P. (2007). Métodos numéricos para ingenieros (5ª ed.). McGraw-Hill.








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