Método de la regla Falsa

 

 Método de regula falsi o falsa posición.

Esta técnica es semejante a la bisección, salvo que la siguiente iteración se toma en la intersección de una recta entre el par de valores x y el eje x, en vez de en el punto medio. De esta manera se obtiene convergencia más rápida que con la bisección, pero por otra parte obtenemos un algoritmo más complicado.

(Chapra & Canale, 2007).

Determinar una raíz \(f(x)=0\) dados valores iniciales \(x_0 y x_1\) y que contienen a la raíz de la función, es decir que cumplen el teorema de Bolzano

Algoritmo del método de la regla falsa.

Hacer

Repeat

 \(x_2=x_1-f(x_1)\frac{x_0-x_1}{f(x_0)-f(x_1)}\)

if \(f(x_2)\) es de signo opuesto a \(f(x_0)\)

Hacer \(x_1=x_2\)

Else 

Hacer \(x_0=x_2\)

Endif

Until \(|f(x_2)|<tolerancia\)

 Aplicar el método de la falsa posición para resolver la siguiente ecuación:

\(3x+sin(x)-e^x=0\) con \(x_0=0\) y \(x_1=1\)

 

iteración	x0	x1	f(x0)	f(x1)	x2	f(x2)
1	0.000000	1.000000	-1.000000	1.123189	0.470990	0.265159
2	0.000000	0.470990	-1.000000	0.265159	0.372277	0.029534
3	0.000000	0.372277	-1.000000	0.029534	0.361598	0.002941
4	0.000000	0.361598	-1.000000	0.002941	0.360537	0.000289
5	0.000000	0.360537	-1.000000	0.000289	0.360433	0.000028
6	0.000000	0.360433	-1.000000	0.000028	0.360423	0.000003

 

  

Puedes dar clic para descargar el ejemplo en Excel.

En la sexta iteración observamos que obtenemos un valor de \(x_2=0.360423\) y la función evaluada en \(x_2\)  es \(f(x_2)=0.000003\), lo que indica que tenemos un valor muy aproximado al valor real. El grafico de la función indica que la función tiene dos raíces, como tarea puedes determinar la otra raíz iniciando con los valores \(x_0=1\) y \(x_1=2\)  

 

Grafica generada en GeoGebra.

Puedes probar el siguiente código de Matlab y verificar los resultados del ejemplo mostrado.

clear all clc format short; %format long; x_0 = input('Introduzca el valor de x_0: '); x_1 = input('Introduzca el valor de x_1: '); cont = input('Introduzca el número de iteraciones cont: '); fun = input('Introduzca la funcion f(x)=','s'); f = inline(fun); x_anterior = x_1; % Inicializamos x_anterior for k = 1:cont x_2 = x_1 - f(x_1) * (x_0 - x_1) / (f(x_0) - f(x_1)); e = abs(x_2 - x_anterior); % Calculamos el error como la diferencia con el valor anterior de x_2 A(k,:) = [k x_0 x_1 x_2 f(x_2) e]; % Actualizamos x_anterior para la siguiente iteración x_anterior = x_2; if f(x_0) * f(x_2) < 0 x_1 = x_2; else x_0 = x_2; end end fprintf('\n \tk \tx_0 \tx_1 \tx_2 \tf(x_2) \terror \n') disp(A) fprintf('Solución:\n c=%8.5f\n', x_2) fprintf('f(c)=%8.5f\n', f(x_2)) fprintf('error=%8.5f\n', e)

Generado en Matlab

Bibliografía:

Chapra, S. C., & Canale, R. P. (2007). Métodos numéricos para ingenieros (5ª ed.). McGraw-Hill.