Simulación Monte Carlo del Lanzamiento de Dos Dados
Simulación Monte Carlo del Lanzamiento de Dos Dados
Introducción
En esta entrada, exploraremos el concepto de simulación Monte Carlo aplicándolo al experimento aleatorio de lanzar dos dados legales y observar la suma de los puntos obtenidos. Nuestro objetivo es encontrar y graficar la función de probabilidades correspondiente, calcular la media y la desviación estándar teóricas, y luego comparar estos valores con los obtenidos a través de una simulación Monte Carlo de 50 corridas.
Espacio Muestral y Distribución de Probabilidades Teórica
El espacio muestral al lanzar dos dados está formado por \(6 \times 6 = 36\) eventos equiprobables. Podemos representar estos eventos como pares ordenados \((d_1, d_2)\), donde \(d_1\) es el resultado del primer dado y \(d_2\) es el resultado del segundo dado. La variable aleatoria \(X\) representa la suma de los puntos observados, con posibles valores que van desde 2 hasta 12.
Tabla de distribución de probabilidades
La probabilidad de cada suma se calcula dividiendo el número de combinaciones que dan esa suma entre el total de eventos posibles (36). A continuación, se presenta la tabla de distribución de probabilidades:
Grafico de la función de distribución de probabilidades
Cálculo de la Media y la Desviación Estándar Teóricas
La media \(\mu\) de la distribución de probabilidades se calcula como:
\[ \mu = \sum [x \cdot P(x)] = 7 \]
La varianza \(\sigma^2\) se calcula como:
\[ \sigma^2 = \sum [(x - \mu)^2 \cdot P(x)] \approx 5.8333 \]
Y la desviación estándar \(\sigma\) es la raíz cuadrada de la varianza:
\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \approx 2.4152 \]
Simulación Monte Carlo
Para aplicar el método Monte Carlo, realizamos 50 simulaciones del lanzamiento de dos dados. En cada simulación, generamos dos números aleatorios entre 1 y 6 y sumamos sus valores. Los resultados obtenidos fueron los siguientes (lista de tus 50 sumas aquí - si es muy larga, puedes resumir o mostrar los primeros y los últimos):
Usamos un if anidado para generar la simulación tomando en cuenta la distribución acumulada, por ejemplo si un numero aleatorio es menor que 0.027, el valor de la suma de los dados es 2. Si el numero aleatorio se encuentra entre 0.027 y 0.083 el valor de la suma de los dados es 3 y así sucesivamente.
=SI(B61<$C$44;2;SI(B61<$C$45;3;SI(B61<$C$46;4;SI(B61<$C$47;5;SI(B61<$C$48;6;SI(B61<$C$49;7;SI(B61<$C$50;8;SI(B61<$C$50;9;SI(B61<$C$51;10;SI(B61<$C$52;10;SI(B61<$C$53;11;12)))))))))))
A partir de los resultados de las 50 simulaciones, calculamos la media muestral \(\bar{x}\) y la desviación estándar muestral (\s\):
\[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{50} x_i}{50} \approx 6.6 \]
\[ s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{50} (x_i - \bar{x})^2}{50 - 1}} \approx 2.74 \]
Discusión y Conclusiones
Al comparar los resultados de la simulación Monte Carlo con los valores teóricos, observamos que la media muestral (6.6) se acerca bastante a la media teórica (7). Y, la desviación estándar muestral (2.74) muestra también una aproximación con la desviación estándar teórica (2.4152).
Estas diferencias son esperables debido al carácter aleatorio de la simulación y al tamaño finito de la muestra (50 corridas). A medida que se aumenta el número de simulaciones en un estudio Monte Carlo, los resultados muestrales tienden a converger a los valores teóricos de la distribución subyacente.
La simulación Monte Carlo es una herramienta poderosa para aproximar las propiedades de distribuciones de probabilidad complejas a través de la repetición de experimentos aleatorios. En este ejemplo sencillo, hemos podido ilustrar cómo se aplica el método y cómo los resultados experimentales se relacionan con los cálculos teóricos.
Gráfico de la Función de Probabilidades
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