Elementos básicos del algebra
Para tener éxito en las matemáticas y en las aplicaciones de estas, es importante conocer sus fundamentos o conceptos básicos algunos de estos conceptos están los relacionados con Algebra, que a continuación te comparto y que espero te sean de utilidad.
Algebra: es la rama de la matemática que estudia la cantidad considerada del modo más general posible.
Los símbolos usados en algebra para
representar las cantidades conocidas son los números y las letras se emplean
para representar cantidades conocidas o bien desconocidas.
Normalmente las cantidades conocidas
se representan por las primeras letras del alfabeto y las desconocidas por las
ultimas letras del alfabeto.
Signos usados en
el algebra:
1) Signos de operación.
- \(\text{Suma}\hspace{1cm} +\)
- \(\text{Resta}\hspace{1cm} -\)
- \(\text{Multiplicación}\hspace{1cm} *\)
- \(\text{División}\hspace{1cm} /\)
2) Signos de relación.
- \(\text{Igualdad}\hspace{1cm} =\)
- \(\text{Mayor que}\hspace{1cm} >\)
- \(\text{Menor que}\hspace{1cm} <\)
- \(\text{Mayor o igual que}\hspace{1cm} \geq\)
- \(\text{Menor o igual que}\hspace{1cm} \leq\)
3) Signos de agrupación.
- Paréntesis ( ): Son los más utilizados y sirven para agrupar términos que deben resolverse primero.
- Corchetes [ ]: Se suelen usar cuando hay varios niveles de agrupación, por lo general después de los paréntesis.
- Llaves { }: También se utilizan para agrupar, pero a menudo se emplean en conjuntos o sistemas de ecuaciones.
Ejemplo: {2 * [3 + (4 - 1)]} - 5
- Primero resolvemos lo que está dentro del paréntesis más interno: 4 - 1 = 3
- Luego resolvemos lo que está dentro del corchete: 3 + 3 = 6
- Multiplicamos 2 por 6: 2 * 6 = 12
- Finalmente restamos 5: 12 - 5 = 7
Coeficiente: Número o parámetro que se escribe a la
izquierda de una variable o incógnita y que indica el número de veces que este
debe multiplicarse.
Ejemplos:
- 5x: En esta expresión, el coeficiente es 5.
- -5y²: Aquí, el coeficiente es -5.
- 0.25ab: En este caso, el coeficiente es 0.25.
- 1/4z: El coeficiente es 1/4.
Valor absoluto de una cantidad es el número que representa
la cantidad prescindiendo del signo o sentido de la cantidad.
Valor relativo de una cantidad es el
sentido de la cantidad, representado por el signo.
El valor absoluto de +$10 es $10 y el
valor relativo es +$10.
El valor absoluto de una cantidad algebraica cualquiera se representa colocando el número que corresponda a dicho valor entre dos líneas verticales.
El valor absoluto se define en los conjuntos de los números enteros, racionales, o reales como:
Ejemplo:
Ejemplo de Valor Relativo: La dirección o sentido
- Una ganancia de $100 tiene un valor relativo positivo (+).
- Una pérdida de $50 tiene un valor relativo negativo (-).
- Moverse 10 metros hacia la derecha tiene un valor relativo positivo, mientras que moverse 10 metros hacia la izquierda tiene un valor relativo negativo.
Valor Absoluto: La magnitud sin importar la dirección
- La temperatura: Si la temperatura es de -5°C, el valor absoluto (5°C) nos indica qué tan fría está, sin importar si es por encima o por debajo de cero.
- La altitud: Si un submarino está a -100 metros, el valor absoluto (100 metros) nos dice a qué profundidad se encuentra, sin importar si está por encima o por debajo del nivel del mar.
- Las finanzas: Si tienes una deuda de -$20, el valor absoluto ($20) representa la cantidad total de dinero que debes, sin considerar si es un ingreso o un gasto.
Expresión
algebraica:
Es la representación de un símbolo
algebraico o de una o más operaciones algebraicas.
Ejemplo de expresiones algebraicas pueden ser:
- \(x + y -x\)
- \(3xy\)
- \(\frac{x^2-1}{x+1}\)
- \((x+y)(x-y)\)
Término: Se llama término a toda expresión algebraica cuyas partes no están separadas por los signos + o -. Así, por ejemplo, \(2xy^2\) es un término algebraico.
En todo término algebraico pueden
distinguirse cuatro elementos: el signo, el coeficiente, la parte literal y el
grado.
Ejemplo: Consideremos el término algebraico: \(-3x^2y^3\)
- Signo: El signo de este término es negativo (-). Esto indica que el valor del término será opuesto al de un término positivo.
- Coeficiente: El coeficiente es -3. Este número multiplica a las variables y determina la magnitud del término.
- Parte literal: La parte literal está formada por las variables: \(x^2y^3\). Las variables representan cantidades desconocidas y pueden tomar diferentes valores.
- Grado: El grado del término se obtiene sumando los exponentes de las variables. En este caso, el grado es 2 + 3 = 5.
Grado de un término:
Puede ser absoluto o con relación a una letra.
Grado absoluto de un término: es la suma de los exponentes de sus factores literales.
Ejemplo:
- Ejemplo 1: En el término
3x²y³z, el grado absoluto es 2 + 3 + 1 = 6. - Ejemplo 2: En el término
-5a⁴b, el grado absoluto es 4 + 1 = 5. - Ejemplo 3: En el término
7, el grado absoluto es 0, ya que no hay variables.
Grado de un término con relación a una letra: es el exponente de dicha letra. El grado relativo de un término con respecto a una letra específica es el exponente de esa letra en el término.
- Ejemplo 1: En el término
3x²y³z, el grado relativo respecto a x es 2, respecto a y es 3 y respecto a z es 1. - Ejemplo 2: En el término
-5a⁴b, el grado relativo respecto a a es 4 y respecto a b es 1. - Ejemplo 3: En el término
7x, el grado relativo respecto a x es 1.
Clases de términos:
Termino entero es el
que no tiene denominador literal.
Ejemplos:
- \(3x²\)
- \(-5ab\)
- \(7\), \(x\)
Termino fraccionario es el que tiene denominador literal.
Ejemplos:
- \(\frac{2}{x}\)
- \(\frac{y}{3z}\)
- \(\frac{a+b}{c}\)
Termino racional: es el que no tiene radical.
Ejemplos:
- \(4x³\)
- \(\frac{-2}{y}\)
- \(5\)
Termino irracional es
el que tiene radical.
Ejemplos:
- \(\sqrt{2x}\)
- \(3\sqrt{y}\)
- \(\frac{x+\sqrt{5}}{2}\)
Términos
homogéneos son los que tienen el mismo grado
absoluto.
Ejemplos:
- 2x³y²
- -5x²y³
- 7x³y²
Términos
heterogéneos son
los que tienen distintos grados absolutos.
Ejemplos:
- 3x²
- 4xy³
- 2
Clasificación de las expresiones algebraicas.
Monomio: es una expresión algebraica que consta de un solo término, por ejemplo: 2a, 2x², -3ab, 1/2z
Polinomio es una expresión algebraica que consta de más de un término.
Ejemplos
- \(a+b\)
- \(x+y-z\)
- \(x^3+2x^2-3x+10\)
Grado
de un polinomio pude ser absoluto y con relación a una letra.
Grado
absoluto de un polinomio es el
grado de su termino de mayor grado.
Ejemplo: En el polinomio 3x⁴ - 2x³ + x² - 5, el término de mayor grado es 3x⁴, por lo tanto, el grado absoluto del polinomio es 4.
Grado
de un polinomio con relación a una letra es el mayor exponente de dicha letra en el polinomio.
Ejemplo: En el polinomio 2x³y² - 5xy⁴ + 3z, el grado relativo respecto a x es 3, respecto a y es 4 y respecto a z es 1.
Términos
semejantes: Dos
o más términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal, es decir
cuando tienen iguales letras afectadas con los mismos exponentes o iguales
exponentes.
Ejemplos:
- 3x², 5x², -2x² (todos tienen la misma parte literal: x²)
- 3x², 5xy, -2x (términos no semejantes)
Reducción
de términos semejantes, es
una operación que tiene como finalidad convertir en un solo termino dos o más
términos semejantes. En este tipo de operaciones pueden ocurrir las siguientes
situaciones:
Términos
semejantes con igual signo: se
suman los coeficientes poniendo delante de esta suma el mismo signo y a
continuación se escribe la parte literal.
Ejemplo:
- 3x + 5x = 8x
Dos
términos semejantes de distintos signos: se restan los coeficientes poniendo delante de esta diferencia el signo
del mayor y a continuación se escribe la parte literal.
Ejemplo:
- 8y - 3y = 5y
Mas
de dos términos semejantes de distintos signos: se reducen a un solo término los términos
positivos, luego los términos negativos y finalmente se reducen el resultado de
los términos positivos y negativos.
Ejemplo:
Simplifica la siguiente expresión:
5x² - 3x² + 2x² - x²= (5x² + 2x²) + (-3x² - x²) =
7x² - 4x² = 3x²
Ejemplos:
1)
x+2x=3x
2)
xy+4xy=5xy
3)
1/2a
+ 3a=7/2a
4)
-x-6x=-7x
5)
-xy-1/2xy=-3/2xy
6)
x-2x+4x+8x-7x
= (x+4x+8x)+(-2x-7x) = 13x+(-9x)=13x-9x=4x
Ejercicios:
1)
1/2z+3/4z=
2)
z-8z=
3)
25x+15x+12x=
4)
9y-6y+5y-6y=
5)
7/2xy+8xy+1/3xy+6xy=
6)
9xyz+7xyz-9xyz-20xyz-xy=
7)
0.5x^2+0.3x^2-1.2x^2=
8) 0.28r+0.36r-2r-7r=
Preguntas de Selección Múltiple que te ayudaran a consolidar lo aprendido en esta entrada.
1. ¿Cuál de las siguientes opciones representa un término algebraico?
- a) 2x + 3y
- b) 5x²
- c) x - y = 5
- d) √2
2. ¿Cuál es el coeficiente del término -3x²y?
- a) 3
- b) -3
- c) x²
- d) y
3. ¿Cuál es el grado absoluto del término 4x³y²z?
- a) 3
- b) 2
- c) 6
- d) 5
4. ¿Cuáles de los siguientes términos son semejantes a 2xy²?
- a) 2yx²
- b) -3xy²
- c) 5x²y
- d) 4y²x
5. Al reducir la expresión 3x² + 5x² - 2x², el resultado es:
- a) 6x²
- b) 10x⁴
- c) x²
- d) 0
6. ¿Cuál es el valor absoluto de -7?
- a) 7
- b) -7
- c) 0
- d) 1
7. ¿Cuál es el grado relativo respecto a x del polinomio 2x³y² - 5xy⁴ + 3z?
- a) 2
- b) 3
- c) 4
- d) 5
8. ¿Cuál de las siguientes expresiones es un binomio?
- a) 3x
- b) x² + 2x - 1
- c) x + y
- d) 5
9. ¿Cuál de los siguientes términos es irracional?
- a) 3/4x
- b) √5x
- c) 2x²
- d) -3y
10. Al reducir la expresión (2a - 3b) + (5a + b), el resultado es:
- a) 7a - 2b
- b) 3a - 4b
- c) 7a + 2b
- d) 3a + 4b
- Baldor, A. (2008). Álgebra de Baldor (2 ed.). México: Patría.
- Colegio Nacional de Matemáticas (2009). Matemáticas simplificadas, 2ª ed. México: Pearson educación.
- Swokowski, A. (2009). Álgebra y Trigonometría (12ª edición). Cengage Learning.
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