Triángulos rectángulos
Triángulos rectángulos: Los triángulos rectángulos tienen una gran variedad de aplicaciones en la vida real, principalmente en las áreas campos como la arquitectura, la construcción, la ingeniería civil, la mecánica, la electrónica, etc. Tener buenas bases o fundamentos sobre las aplicaciones de los triángulos rectángulos es de vital importancia. A continuación te presento un resumen y ejemplos básicos de su aplicación.
Normalmente los vértices de los triángulos se representan
por letras mayúsculas, A, B y C por ejemplo, y los lados opuestos a cada vértice
con letra minúsculas de forma correspondiente, es decir, a, b y c.
Para que un triángulo sea identificado como triangulo rectángulo
este debe tener un ángulo recto o lo que es lo mismo un ángulo de 90°.
Dependiendo de donde se ubique un ángulo Alpha se definen
las siguientes razones trigonométricas del triángulo rectángulo.
\(sen(α)=\frac{\text{cateto puesto}}{hipotenusa}\)
\(cos(α)=\frac{\text{cateto adyacente}}{hipotenusa}\)
\(tan(α)=\frac{\text{cateto puesto}}{\text{cateto adyacente}}\)\(cot(α)=\frac{\text{cateto adyacente}}{\text{cateto opuesto}}\)
\(sec(α)=\frac{hipotenusa}{\text{cateto adyacente}}\)
\(csc(α)=\frac{hipotenusa}{\text{cateto opuesto}}\)
El teorema
de Pitágoras es muy importante en la solución de triángulos rectángulos.
Establece que el área del cuadrado cuyo lado es la hipotenusa es igual a la
suma de las áreas de los otros dos lados. Matemáticamente se expresa así.
\(c^2=a^2+b^2\)
- Si conocemos el valor de la longitud de los catetos podemos determinar el valor de la hipotenusa usando la siguiente ecuación. \(c=\sqrt{a^2+b^2 }\)
- En caso de conocer la hipotenusa y uno de los catetos, el otro cateto se puede determinar aplicando las ecuaciones correspondientes.
\(a=\sqrt{c^2-b^2}\)
\(b=\sqrt{c^2-a^2}\)
Ejemplo:
Una persona que hace volar una cometa sostiene la cuerda 4 pies arriba del nivel del suelo. La cuerda de la cometa está tensa y forma un ángulo de 60°con la horizontal. Calcule la altura de la cometa arriba del nivel del suelo si se dan 500 pies de cuerda.Solución:De acuerdo a lo planteado en el problema se puede establecer el siguiente triangulo.
Un cable está unido a la cima de
una antena de radio y a un punto en el suelo horizontal que está a 40.0 metros
de la base de la antena. Si el cable forma un ángulo de 58°20’ con el suelo,
calcule la longitud del cable.
Sea x la longitud de la cuerda.
Desde un punto a 15 metros sobre
el nivel del suelo, un topógrafo mide el ángulo de depresión de un objeto en el
suelo a 68°. Calcule la distancia desde el objeto al punto en el suelo
directamente abajo del topógrafo.
Sea x la distancia al punto en el
suelo directamente abajo del topógrafo.
Un piloto, que vuela a una
altitud de 5000 pies, desea aproximarse a los números de una pista a un ángulo
de 10°. Calcule, a los 100 pies más cercanos, la distancia desde el avión a los
números al principio del descenso.
Para hallar la distancia d entre dos puntos P y Q en las orillas opuestas de un lago, un topógrafo localiza un punto R que está a 50.0 metros de P tal que RP es perpendicular a PQ, como se ve en la figura. A continuación, usando un teodolito, el topógrafo mide el ángulo PRQ como de 72°40'. Encuentre d
Un cohete es disparado al nivel del mar y asciende a un ángulo constante de 75° toda una distancia de 10,000 pies. Calcule su altitud al pie más cercano.
Un avión despega a un ángulo de 10° y vuela a razón de 250 pies/s. ¿Aproximadamente cuánto tarda el avión en alcanzar una altitud de 15,000 pies?
Normalmente los vértices de los triángulos se representan
por letras mayúsculas, A, B y C por ejemplo, y los lados opuestos a cada vértice
con letra minúsculas de forma correspondiente, es decir, a, b y c.
Para que un triángulo sea identificado como triangulo rectángulo
este debe tener un ángulo recto o lo que es lo mismo un ángulo de 90°.
Dependiendo de donde se ubique un ángulo Alpha se definen
las siguientes razones trigonométricas del triángulo rectángulo.
\(sen(α)=\frac{\text{cateto puesto}}{hipotenusa}\)
\(cos(α)=\frac{\text{cateto adyacente}}{hipotenusa}\)
\(tan(α)=\frac{\text{cateto puesto}}{\text{cateto adyacente}}\)\(cot(α)=\frac{\text{cateto adyacente}}{\text{cateto opuesto}}\)
\(sec(α)=\frac{hipotenusa}{\text{cateto adyacente}}\)
\(csc(α)=\frac{hipotenusa}{\text{cateto opuesto}}\)
El teorema
de Pitágoras es muy importante en la solución de triángulos rectángulos.
Establece que el área del cuadrado cuyo lado es la hipotenusa es igual a la
suma de las áreas de los otros dos lados. Matemáticamente se expresa así.
\(c^2=a^2+b^2\)
- Si conocemos el valor de la longitud de los catetos podemos determinar el valor de la hipotenusa usando la siguiente ecuación. \(c=\sqrt{a^2+b^2 }\)
- En caso de conocer la hipotenusa y uno de los catetos, el otro cateto se puede determinar aplicando las ecuaciones correspondientes.
\(a=\sqrt{c^2-b^2}\)
\(b=\sqrt{c^2-a^2}\)
\(b=\sqrt{c^2-a^2}\)
Ejemplo:
Una persona que hace volar una cometa sostiene la cuerda 4 pies arriba del nivel del suelo. La cuerda de la cometa está tensa y forma un ángulo de 60°con la horizontal. Calcule la altura de la cometa arriba del nivel del suelo si se dan 500 pies de cuerda.Solución:De acuerdo a lo planteado en el problema se puede establecer el siguiente triangulo.
Un cable está unido a la cima de
una antena de radio y a un punto en el suelo horizontal que está a 40.0 metros
de la base de la antena. Si el cable forma un ángulo de 58°20’ con el suelo,
calcule la longitud del cable.
Sea x la longitud de la cuerda.
Desde un punto a 15 metros sobre
el nivel del suelo, un topógrafo mide el ángulo de depresión de un objeto en el
suelo a 68°. Calcule la distancia desde el objeto al punto en el suelo
directamente abajo del topógrafo.
Sea x la distancia al punto en el
suelo directamente abajo del topógrafo.
Un piloto, que vuela a una
altitud de 5000 pies, desea aproximarse a los números de una pista a un ángulo
de 10°. Calcule, a los 100 pies más cercanos, la distancia desde el avión a los
números al principio del descenso.
Para hallar la distancia d entre dos puntos P y Q en las orillas opuestas de un lago, un topógrafo localiza un punto R que está a 50.0 metros de P tal que RP es perpendicular a PQ, como se ve en la figura. A continuación, usando un teodolito, el topógrafo mide el ángulo PRQ como de 72°40'. Encuentre d
Un cohete es disparado al nivel del mar y asciende a un ángulo constante de 75° toda una distancia de 10,000 pies. Calcule su altitud al pie más cercano.
Un avión despega a un ángulo de 10° y vuela a razón de 250 pies/s. ¿Aproximadamente cuánto tarda el avión en alcanzar una altitud de 15,000 pies?
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