Teoremas de transformada de Laplace de funciones básicas.

 

Transformada de Laplace de funciones básicas.

Los teoremas básicos de la transformada de Laplace son de gran utilidad, nos ayudan a ahorrar tiempo a la hora de determinar las transformas de Laplace de funciones más complejas y que se adaptan a dichas funciones básicas. Estos teoremas son consecuencias directas de aplicar la definición de transformada de Laplace. Además, una de las grandes aplicaciones de la transformada de Laplace es resolver ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes y con condiciones iniciales.

Teoremas de transformada de Laplace de funciones básicas.

L{1}=1/s

L{c}=c/s

L{t^n }=n!/s^(n+1) ,∀n=1,2,..

L{e^at }=1/(s-a)

L{senkt}=k/(s^2+k^2 )

L{coskt}=s/(s^2+k^2 )

L{senhkt}=k/(s^2-k^2 )

L{coshkt}=s/(s^2-k^2 )

Ejemplos: Aplique los teoremas de funciones básicas de la transformada de Laplace para determinar la transformada de f(t), es decir, L{f(t)}.

  1. f(t)=6t+10
  2. f(t)=5t^2+10e^(-2t)
  3. f(t)=cos6t+sen2t

Solución:
1) L{6t+10}

=L{6t}+L{10}

=6L{t}+L{10}

=6∙1!/s^(1+1) +10/s

=6/s^2 +10/s

Solución:
2) L{5t^2+10e^(-2t) }

=L{5t^2 }+L{10e^(-2t) }

=5L{t^2 }+10L{e^(-2t) }

=5∙2!/s^(2+1) +10∙1/(s-(-2))

=5∙2/s^3 +10∙1/(s+2)

=10/s^3 +10/(s+2)

Solución:
3) L{cos6t+sen2t}

=L{cos6t}+L{sen2t}

=s/(s^2+6^2 )+2/(s^2+2^2 )

=s/(s^2+36)+2/(s^2+4)

Ejercicios: 
Aplique los teoremas de funciones básicas de la transformada de Laplace para determinar la transformada de f(t), es decir, L{f(t)}.
f(t)=6t^3
f(t)=2+cos3t
f(t)=4t^2-5sen3t
f(t)=(1+e^(2t))^2

Solución: 
  1. 36/s^4
  2.  2/s + s/(s^2 + 9)
  3. 8/s^3 - 15/(s^2 + 9)
  4. 2/(s - 2) + 1/(s - 4) + 1/s




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