¿Cuánto pagará Esteban al final?. Aplicaciones de las sucesiones aritméticas
¿Cuánto pagará Esteban al final?
Resolvamos el siguiente problema de aplicación de las sucesiones aritméticas.
Solución:
El término n-ésimo de una progresión aritmética o sucesión aritmética esta dado por la expresión \[a_n=a_1+(n-1)d\]
Si el octavo pago es de $153 quiere decir que esto ocurre cuando \[n=8; a_8=153\] Si sustituimos estos valores en el término n-ésimo obtenemos
\[153=a_1+(8-1)d\]
o bien
\[a_1+7d=153\] a quien llamaremos ecuación 1 (Ec. 1).
Si el décimo quinto pago es de $181 quiere decir que esto ocurre cuando \[n=15; a_15=181\] Si sustituimos estos valores en el término n-ésimo obtenemos:
\[181=a_1+(15-1)d\]
o bien
\[a_1+14d=181\] a quien llamaremos ecuación 2 (Ec. 2).
Por lo que se forma un sistema de ecuaciones con dos incógnitas \(a_1; d\)
\[a_1+7d=153\]
\[a_1+14d=181\]
Resolvemos por sustitución, despejamos \(a_1\) en la Ec. 1
\[a_1+7d=153\]
\[a_1=153-7d\]
Sustituimos \(a_1\) en la Ec.2 y despejamos \(d\)
\[a_1+14d=181\]
\[153-7d+14d=181\]
\[7d=181-153\]
\[7d=28\]
\[d=\frac{28}{7}\]
\[d=4\]
Sustituimos d en \[a_1=153-7d\]
\[a_1=153-7(4)\]
\[a_1=153-28\]
\[a_1=125\]
La fórmula para determinar el n-ésimo término se forma con los valores de \[a_1 y d\]
\[a_n=a_1+(n-1)d\]
Para determinar el vigésimo pago se determina sustituyendo , \(a_1\) por 125, n por 20 y d por 4
\[a_{20}=125+(20-1)4\]
\[a_{20}=125+(19)4\]
\[a_{20}=125+ 76\]
\[a_{20}=201\]
El vigésimo pago corresponde a $201.
B) Suponga que Esteban pagó un total de $5490 al banco.
a) ¿Calcule el número de pagos que efectúo al banco?
b) ¿De cuánto fue el último pago?
Solución: para dar respuesta a estas preguntas partimos de la fórmula de la suma n-ésima de una sucesión aritmética.
\[S_n=\frac{n}{2}[{2a_1+(n-1)d]}\]
Donde \(S_n=5490\), \(a_1=125\), \(d=4\) y \(n=?\); si sustituimos cada uno de estos valores en la fórmula de \(S_n\) obtenemos:
\[S_n=\frac{n}{2}[{2a_1+(n-1)d]}\]
\[5490=\frac{n}{2}[{2(125)+(n-1)4]}\]
\[5490=\frac{n}{2}[{250+4n-4]}\]
\[5490=\frac{n}{2}[{4n+246]}\]
\[5490={2n^2+123n}\]
\[{2n^2+123n-5490=0}\]
Resolvemos esta ecuación cuadrática para n, donde a=2, b=123 y c=-5490.
\[n=\frac{-(123) \pm \sqrt{(123)^2 - 4(2)(-5490)}}{2(2)}\]
\[n=\frac{-123 \pm \sqrt{15129+43920}}{4}\]
\[n=\frac{-123 \pm \sqrt{15129+43920}}{4}\]
\[n=\frac{-123 \pm \sqrt{59049}}{4}\]
\[n=\frac{-123 \pm 243}{4}\]
\[n1=\frac{-123 + 243}{4}=30\]
\[n2=\frac{-123 - 243}{4}=-91.5\]
Tomamos como respuesta el valor positivo para n, n=30, es decir que efectúo un total de 30 pagos al banco.
Para saber de cuánto fue el último pago determinamos \(a_{30}\)
\[a_{30}=125+(30-1)4\]
\[a_{30}=125+(29)4\]
\[a_{30}=125+116\]
\[a_{30}=241\]
Significa que el último pago fue de $241.
Bibliografía: Arya, J. C., & Lardner, R. W. (Año). Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía. (V. H. Ibarra Mercado, Trad. y Rev. Téc.). Universidad Anáhuac-México Norte.
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