¿Qué opción de renta de auto es mejor? Aplicaciones de las funciones seccionadas.

Para ejemplificar las aplicaciones de las funciones matemáticas seccionadas o por trazos planteamos la solución de este problema que no deja de ser interesante al momento de tomar decisiones basadas en datos numéricos:

Hay dos opciones de renta de autos disponible para un viaje de cuatro días. La opción I es $45 por día, con 200 millas gratis y $0.40 por milla por cada milla adicional. La opción II es de $58.75 por día, con un cargo de $0.25 por milla. 

    A.   Determine el costo de un viaje de 500 millas para ambas opciones.

         B.    Modele los datos con una función de costo para cada opción de cuatro días.

         C.    Haga una tabla que contenga una lista del recorrido en millas y el cargo para cada opción para viajes entre 100 y 1200 millas, usando incrementos de 100 millas.

    D.   Use la tabla para determinar el recorrido en millas al cual cada opción es preferible.   

    (Swokowski & Cole, 2009).

Solución:

        A. Determine el costo de un viaje de 500 millas para ambas opciones.

       B.   Modele los datos con una función de costo para cada opción de cuatro días.

 

Sea x las millas para el viaje, para la opción I. El costo según lo descrito en el problema es de:

      C.   Haga una tabla que contenga una lista del recorrido en millas y el cargo para cada opción para viajes entre 100 y 1200 millas, usando incrementos de 100 millas.

 

    D.   Use la tabla para determinar el recorrido en millas al cual cada opción es preferible.

 Según los resultados de la tabla la mejor opción para rentar un auto con las descripciones del problema es la opción I si el número de millas a usar en menor a 900 y la opción II si el número de millas es mayor que 900.

Código de Matlab que genera la gráfica.

 

% Definición de variables y funciones

% Definir el dominio

x = 100:100:1200; % Valores de x entre 100 y 1200 millas

 

% Definir la función a trozos de la opción I

C1 = zeros(size(x)); % Inicializar con ceros

C1(x <= 200) = 180 % Primer tramo: C1(x) = 180 para x <= 200

C1(x > 200) = 100 + 0.40 * x(x > 200) % Segundo tramo: C1(x) = 100 + 0.40x para x > 200

 

%Definimos las función de la opción II

C_2=235+0.25*x

% Graficar la función

plot(x, C1, 'b-', 'LineWidth', 1.5);

grid on;

title('Gráfica de la función C_1(x)');

xlabel('Distancia (millas)');

ylabel('Costo ($)');

 

hold on;

plot(x, C_2, 'r--', 'LineWidth', 1.5); % Línea roja punteada para C_2

 

 

% Personalización de la gráfica

title('Gráfica de las funciones costo de las dos opciones del problema');

xlabel('Cantidad de ,millas (x)');

ylabel('Costo ($)');

legend('Opción 1: C_1', 'Opción 2: C_2', 'Location', 'northwest');

grid on; % Mostrar una cuadrícula

hold off;

Bibliografía:

Swokowski, E. W., & Cole, J. A. (2009). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (12.ª ed.). Cengage Learning Editores.