Integración por Fracciones Parciales: Solución Paso a Paso de $\int \frac{x^2+x-1}{x^3+2x^2+x} \, dx$

Solución de la Integral por Fracciones Parciales

¡Bienvenidos! 

La presente publicación ofrece la resolución detallada de un ejercicio de integración por descomposición en fracciones parciales que espero te ayude a ir mejorando en tus habilidades del cálculo integral.

El ejercicio propuesto es la integral indefinida:

$$\int \frac{x^2+x-1}{x^3+2x^2+x} \, dx$$


1. Factorización del Denominador

Factorizamos el denominador $D(x)$:

\[ D(x) = x^3+2x^2+x = x(x^2+2x+1) = x(x+1)^2 \]


2. Descomposición en Fracciones Parciales


La descomposición tiene la forma:

\[\frac{x^2+x-1}{x(x+1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^2}\]


Multiplicamos toda la ecuación por el denominador común $x(x+1)^2$:

\[x^2+x-1 = A(x+1)^2 + Bx(x+1) + Cx\]

Expandimos y agrupamos por potencias de $x$:

\[x^2+x-1 = A(x^2+2x+1) + B(x^2+x) + Cx\]

\[x^2+x-1 = (A+B)x^2 + (2A+B+C)x + A\]

Igualando los coeficientes de las potencias de $x$ a ambos lados, obtenemos el sistema:

\[ \begin{array}{rcl} A+B & = & 1 \\ 2A+B+C & = & 1 \\ A & = & -1 \end{array} \]

De la Ec. 3, tenemos $\mathbf{A = -1}$.

Sustituimos $A=-1$ en la Ec. 1:

\[(-1) + B = 1 \implies \mathbf{B = 2}\]

Sustituimos $A=-1$ y $B=2$ en la Ec. 2:

\[2(-1) + 2 + C = 1 \implies \mathbf{C = 1}\]

Los coeficientes son: $\mathbf{A=-1}$, $\mathbf{B=2}$, $\mathbf{C=1}$.

3. Integración y Solución Final

Sustituimos los coeficientes e integramos:

\[ I = \int \left( \frac{-1}{x} + \frac{2}{x+1} + \frac{1}{(x+1)^2} \right) \, dx \]

Obteniendo:

\[ I = - \ln|x| + 2 \ln|x+1| - \frac{1}{x+1} + K \]

Simplificando:

Finalmente, simplificando usando propiedades de logaritmos, obtenemos la solución:

\[ \int \frac{x^2+x-1}{x^3+2x^2+x} \, dx = \ln\left| \frac{(x+1)^2}{x} \right| - \frac{1}{x+1} + K \]


Espero que la solución de estos ejercicios sean de ayuda para resolver integrales de este tipo.



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