Integral por Fracciones Parciales: Solución Paso a Paso de ∫ (x+4) / (x^3+3x^2+2x) dx

¡Bienvenidos! 

La presente publicación ofrece la resolución detallada de un ejercicio de integración por descomposición en fracciones parciales.

El objetivo es resolver la integral:

$$I = \int \frac{x+4}{x^3+3x^2+2x} dx$$


1. Factorización del Denominador

Primero, factorizamos el denominador:

$$x^3+3x^2+2x = x(x^2+3x+2) = x(x+2)(x+1)$$

La integral se reescribe como:

$$I = \int \frac{x+4}{x(x+2)(x+1)} dx$$


2. Descomposición en Fracciones Parciales

La descomposición en fracciones parciales tiene la forma:

$$\frac{x+4}{x(x+2)(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{x+2}$$

Multiplicando ambos lados por el denominador $x(x+2)(x+1)$:

$$x+4 = A(x+2)(x+1) + Bx(x+2) + Cx(x+1)$$

Desarrollando los términos de la derecha:

$$x+4 = A(x^2+3x+2) + B(x^2+2x) + C(x^2+x)$$

$$x+4 = (Ax^2+3Ax+2A) + (Bx^2+2Bx) + (Cx^2+Cx)$$

Agrupando términos por potencias de $x$:

$$x+4 = (A+B+C)x^2 + (3A+2B+C)x + (2A)$$


3. Sistema de Ecuaciones

Igualando los coeficientes de las potencias de $x$ a ambos lados de la ecuación:

Coeficiente de $x^2$: $\quad A+B+C = 0$

Coeficiente de $x$: $\quad 3A+2B+C = 1$

Término constante: $\quad 2A = 4$

4. Resolución del Sistema

De la ecuación (3):

$$2A = 4 \implies A = \frac{4}{2} \implies \mathbf{A = 2}$$

Sustituimos $A=2$ en las ecuaciones (1) y (2):

    En (1): $2+B+C = 0 \implies \mathbf{B+C = -2}$

   En (2): $3(2)+2B+C = 1 \implies 6+2B+C = 1 \implies \mathbf{2B+C = -5}$


Ahora, restamos la primera nueva ecuación de la segunda:

$$(2B+C) - (B+C) = -5 - (-2)$$

$$2B+C - B - C = -5 + 2$$

$$\mathbf{B = -3}$$

Sustituimos $B=-3$ en la ecuación $B+C = -2$:

$$-3+C = -2 \implies C = -2+3 \implies \mathbf{C = 1}$$

Las constantes son:

$$\mathbf{A = 2, \quad B = -3, \quad C = 1}$$


5. Integración

Sustituimos los valores de $A$, $B$ y $C$ en la descomposición:

$$\frac{x+4}{x(x+2)(x+1)} = \frac{2}{x} + \frac{-3}{x+1} + \frac{1}{x+2}$$

Integramos término a término:

$$I = \int \left( \frac{2}{x} - \frac{3}{x+1} + \frac{1}{x+2} \right) dx$$

$$I = 2 \int \frac{1}{x} dx - 3 \int \frac{1}{x+1} dx + \int \frac{1}{x+2} dx$$

$$I = 2 \ln|x| - 3 \ln|x+1| + \ln|x+2| + K, \quad \text{donde } K \text{ es la constante de integración}$$


6. Simplificación (Opcional)

Usando las propiedades de los logaritmos ($\mathbf{m \ln a = \ln a^m}$  y  $\mathbf{\ln a + \ln b - \ln c = \ln \frac{ab}{c}}$):

$$I = \ln|x^2| - \ln|x+1|^3 + \ln|x+2| + K$$

$$I = \ln\left| \frac{x^2(x+2)}{(x+1)^3} \right| + K$$

Respuesta Final

$$\int \frac{x+4}{x^3+3x^2+2x} dx = 2 \ln|x| - 3 \ln|x+1| + \ln|x+2| + K$$

o

$$\int \frac{x+4}{x^3+3x^2+2x} dx = \ln\left| \frac{x^2(x+2)}{(x+1)^3} \right| + K$$

Te comparto el video que detalla la solución del ejercicio.



Espero que la solución de estos ejercicios sean de utilidad para ir desarrollando habilidades en la solución de integrales con funciones que se pueden descomponer en fracciones parciales.



Comentarios

Publicar un comentario

Etiquetas

Aplicaciones de las ecuaciones cuadráticas13 Integrales de funciones que se descomponen en fracciones parciales10 Integrales por cambio de variables10 Algebra8 Aplicaciones de las integrales8 Integrales inmediatas7 Test Interactivo7 Análisis numérico6 Integrales definidas6 Derivadas5
Funciones Matemáticas5 Álgebra5 Área bajo una curva5 Constante de integración4 Ecuaciones lineales4 Productos notables4 Test Autoevaluativo4 Volumen de sólidos de revolución4 Ejercicios Resueltos3 Factorización3 GeoGebra3 Integración por parte.3 Modelado Matemático3 Swokowski y Cole3 Área entre curvas planas3 Cinemática2 Cálculo Diferencial2 Cálculo Integral2 Definición de derivadas2 Física2 Geometría2 Integrales de funciones trigonométricas2 Integrales por sustitución trigonométrica2 Matemáticas Aplicadas2 Sistemas de Ecuaciones2 Test Interactivo.2 Álgebra básica2 Análisis Dimensional1 Binomio al Cuadrado1 Biomatemáticas1 Conversión de Unidades1 Curiosidades Matemáticas1 Cálculo de Peso1 CálculoDiferencial1 Despeje de Fórmulas1 Discriminante1 Diseño Industrial.1 Ecuaciones Diferenciales1 Ecuaciones Racionales1 Ecuaciones de segundo grado1 Ejercicios Resueltos.1 Estimación1 Fracciones1 Funciones de Potencia1 Función Cuadrática1 Gráficas1 Guía Paso a Paso1 Guía de Estudio1 Identidades Algebraicas1 Inecuaciones1 Integral Definida1 Lógica.1 Matemáticas1 Matemáticas Aplicadas.1 Matemáticas paso a paso1 MatemáticasSimplificadas1 Multiplicación de fracciones1 Método de Sustitución1 Parábolas1 Problemas de Aplicación1 Propiedad distributiva1 Razonamiento Matemático1 Regla de la Cadena1 ReglaDelCociente1 Solución de Problemas1 Suma de fracciones1 Swokowski1 Swokowski & Cole1 Sólidos de revolución1 Tasas de Trabajo1 Transformada de Laplace1 Velocidad Relativa1 Videotutorial1 Volumen de Sólidos1 Área bajo la curva1
Mostrar más

Seguidores

Entradas populares de este blog

Sistemas de Ecuaciones Lineales: Resolviendo un Problema de Vuelos y Pasajeros por el método de sustitución

En esta entrada explicamos de forma breve un ejemplo de las aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, el ejemplo es el siguiente. Una línea aérea que hace vuelos de Los Ángeles a Albuquerque con una escala en Phoenix cobra una tarifa de \($90\) a Phoenix y de \(\$120\) de Los Ángeles a Albuquerque. Un total de 185 pasajeros abordaron el avión en Los Ángeles y los pasajes totalizaron \(\$21,000\). ¿Cuántos pasajeros bajaron del avión en Phoenix? (Swokowski & Cole, 2009) Para la solución de este problema, aplicaremos el método de sustitución. Definimos nuestras variables: \(x\): número de pasajeros que bajaron en Phoenix (pagaron \(\$90\)).  \(y\): número de pasajeros que continuaron hasta Albuquerque (pagaron \(\$120\)). Establecemos el sistema de ecuaciones: \[x + y = 185 \quad \text{(Ecuación 1)}\] \[90x + 120y = 21000 \quad \text{(Ecuación 2)}\] Paso 1: Despejar la variable x de la Ecuación 1 Vamos a despejar \(x\) de la Ecuación 1 en términos...
Read more »

Método de bisección

Imagen
  ¿Qué es el método de bisección? Es un algoritmo de búsqueda de raíces de ecuaciones que  trabaja dividiendo el intervalo que contiene la raíz a la mitad y  seleccionando el nuevo subintervalo que tiene la raíz a la mitad y así, sucesivamente hasta que la sucesión logra una convergencia hacia la raíz o valor exacto. ¿Por qué es importante?   El método de bisección es un algoritmo sencillo pero poderoso que se utiliza para encontrar las raíces de una ecuación, es decir, los valores de x para los cuales f(x) = 0, destaca por varias razones: Garantiza la convergencia: A diferencia de otros métodos, el de bisección siempre converge a una raíz, siempre y cuando la función sea continua en el intervalo inicial y exista una raíz en ese intervalo. Facilidad de implementación: Su lógica es bastante intuitiva y fácil de comprender, las ieterciones se pueden realizar con ayuda de diferentes herramientas digitales como Excel, Matlab, etc.  Robustez: No es muy sensible a...
Read more »

Solución de un Examen de Matemáticas: Integrales, limites de dos funciones y derivadas parciales.

Imagen
Este documento presenta la solución detallada a los ejercicios de un examen de matemáticas, incluyendo integrales, límites y derivadas parciales. I. Cálculo de la integral definida Para resolver la integral definida $\int_{1}^{2}(x^{2}+1)dx$, primero se encuentra la antiderivada de la función $f(x)=x^2+1$. $$ \int(x^2+1)dx = \frac{x^3}{3} + x $$ Luego, se aplica el Teorema Fundamental del Cálculo para evaluar la integral en los límites de integración, de $x=1$ a $x=2$. $$ \int_{1}^{2}(x^{2}+1)dx = \left[\frac{x^3}{3} + x\right]_{1}^{2} $$ Se evalúa la función en el límite superior (2) y se le resta la evaluación en el límite inferior (1): $$ = \left(\frac{2^3}{3} + 2\right) - \left(\frac{1^3}{3} + 1\right) $$ $$ = \left(\frac{8}{3} + 2\right) - \left(\frac{1}{3} + 1\right) $$ Para simplificar, se convierten los números enteros a fracciones con un denominador común (3): $$ = \left(\frac{8}{3} + \frac{6}{3}\right) - \left(\frac{1}{3} + \frac{3}{3}\right) $$ $$ = \frac{14}{3} - ...
Read more »