Integrales Fundamentales Resueltas: Dominando Sustitución o cambio de variables y el Método de integral por Partes

¡Bienvenidos! 

La presente publicación ofrece la resolución paso a paso de cuatro ejercicios relacionados con integrales de funciones trigonométricas, exponenciales y por partes, que puede ser interesante para los jóvenes que se están iniciando en cálculo integral.

Integrales Resueltas


1. Resolver: $\int \frac{\cos x}{\sin^3 x} dx$

Solución:


Se utiliza la sustitución: $u = \sin x$, $du = \cos x \, dx$.

La integral se transforma en:

    $$\int \frac{1}{u^3} du = \int u^{-3} du$$

 Aplicando la regla de la potencia:

    $$\frac{u^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2u^2} + C$$

Sustituyendo $u = \sin x$ de vuelta:

    $$\int \frac{\cos x}{\sin^3 x} dx = \mathbf{-\frac{1}{2\sin^2 x} + C}$$

    O, alternativamente:

    $$\int \frac{\cos x}{\sin^3 x} dx = \mathbf{-\frac{1}{2} \csc^2 x + C}$$


2. Resolver: $\int 2 e^{4x} dx$}

Solución:

    Se utiliza la sustitución: $u = 4x$, $du = 4 \, dx$, por lo que $dx = \frac{1}{4} du$.

    Sustituyendo:

    $$2 \int e^{4x} dx = 2 \int e^u \left(\frac{1}{4} du\right) = \frac{2}{4} \int e^u du = \frac{1}{2} \int e^u du$$

  Integrando:

    $$\frac{1}{2} e^u + C$$

  Sustituyendo $u = 4x$ de vuelta:

    $$\int 2 e^{4x} dx = \mathbf{\frac{1}{2} e^{4x} + C}$$


3. Resolver: $\int \frac{dx}{x+3}$

Solución:

Se utiliza la sustitución: $u = x+3$, $du = dx$.

   Sustituyendo:

    $$\int \frac{dx}{x+3} = \int \frac{du}{u}$$

    Integrando $\frac{1}{u}$:

    $$\ln |u| + C$$

   Sustituyendo $u = x+3$ de vuelta:

    $$\int \frac{dx}{x+3} = \mathbf{\ln |x+3| + C}$$


4. Resolver: $\int x^5 \ln x \, dx$

Solución:

Se utiliza la Integración por Partes: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.

   Definimos las partes:

    $$u = \ln x \implies du = \frac{1}{x} dx$$

    $$dv = x^5 dx \implies v = \int x^5 dx = \frac{x^6}{6}$$

    Aplicando la fórmula de integración por partes:

    $$\int x^5 \ln x \, dx = (\ln x) \left(\frac{x^6}{6}\right) - \int \left(\frac{x^6}{6}\right) \left(\frac{1}{x} dx\right)$$

    $$\int x^5 \ln x \, dx = \frac{x^6}{6} \ln x - \int \frac{x^5}{6} dx$$

    $$\int x^5 \ln x \, dx = \frac{x^6}{6} \ln x - \frac{1}{6} \int x^5 dx$$

    Integrando la parte restante:

    $$\int x^5 \ln x \, dx = \frac{x^6}{6} \ln x - \frac{1}{6} \left(\frac{x^6}{6}\right) + C$$

    Resultado final:

    $$\int x^5 \ln x \, dx = \mathbf{\frac{x^6}{6} \ln x - \frac{x^6}{36} + C}$$

    O factorizado:

    $$\int x^5 \ln x \, dx = \mathbf{\frac{x^6}{36} (6 \ln x - 1) + C}$$


Espero que la solución de estos ejercicios sean de utilidad para ir desarrollando habilidades en la identificación y solución de diversos tipos de integrales.


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