Resolución paso a paso de una integral por sustitución trigonométrica: ∫ 𝑑 𝑥 /(xsqrt( 25 𝑥^2 + 16))
¡Bienvenidos!
La presente publicación ofrece la resolución paso a paso de una integral que se resuelve por sustitución trigonométrica y que puede ser de interés sobre todo a los que están iniciando el estudio de los métodos de integración.
El ejercicio a resolver es la integral indefinida:
$$ I = \int \frac{dx}{x\sqrt{25x^2 + 16}} $$
Solución de la Integral:
Paso 1: Sustitución Trigonométrica
Esta integral se resuelve utilizando la sustitución trigonométrica, concretamente para el caso de la forma $\sqrt{u^2 + a^2}$.
Identificamos:
$$u^2 = 25x^2 \implies u = 5x$$
$$a^2 = 16 \implies a = 4$$
Determinamos las razones trigonométricas del triángulo rectángulo correspondiente.
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| Modelo geométrico para resolver integrales con |
A partir de la sustitución trigonométrica y el triángulo rectángulo, definimos las siguientes razones trigonométricas para el ángulo $\theta$:
$$ \sin \theta = \frac{\text{Opuesto}}{\text{Hipotenusa}} = \frac{5x}{\sqrt{25x^2 + 16}} $$
$$ \cos \theta = \frac{\text{Adyacente}}{\text{Hipotenusa}} = \frac{4}{\sqrt{25x^2 + 16}} $$
$$\tan \theta = \frac{\text{Opuesto}}{\text{Adyacente}} = \frac{5x}{4}$$
De estas relaciones, podemos obtener las siguientes expresiones para $x$ y $dx$, así como para la raíz cuadrada:
De $\tan \theta = \frac{5x}{4}$:
$$ x = \frac{4}{5} \tan \theta $$
Diferenciando $x$:
$$ dx = \frac{4}{5} \sec^2 \theta \, d\theta $$
De $\cos \theta = \frac{4}{\sqrt{25x^2 + 16}}$:
$$ \sqrt{25x^2 + 16} = \frac{4}{\cos \theta} = 4 \sec \theta $$
Paso 2: Sustitución e Integración
Sustituimos $x$, $dx$ y $\sqrt{25x^2 + 16}$ en la integral original $I$:
$$I = \int \frac{dx}{x\sqrt{25x^2 + 16}} $$
$$= \int \frac{\frac{4}{5} \sec^2 \theta \, d\theta}{\left(\frac{4}{5} \tan \theta\right) (4 \sec \theta)}$$
$$= \int \frac{\frac{4}{5} \sec^2 \theta}{\frac{16}{5} \tan \theta \sec \theta} \, d\theta $$
$$= \int \frac{4 \sec^2 \theta}{16 \tan \theta \sec \theta} \, d\theta $$
$$= \frac{4}{16} \int \frac{\sec \theta}{\tan \theta} \, d\theta $$
$$= \frac{1}{4} \int \frac{\sec \theta}{\tan \theta} \, d\theta$$
Simplificamos la expresión $\frac{\sec \theta}{\tan \theta}$ usando $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$ y $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$:
$$ \frac{\sec \theta}{\tan \theta} = \frac{\frac{1}{\cos \theta}}{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}} = \frac{1}{\sin \theta} = \csc \theta $$
La integral se reduce a una forma conocida:
$$ I = \frac{1}{4} \int \csc \theta \, d\theta $$
La integral de $\csc \theta$ es $\ln|\csc \theta - \cot \theta|$:
$$ I = \frac{1}{4} \ln|\csc \theta - \cot \theta| + C $$
Paso 3: Retorno a la Variable Original
Usamos el triángulo rectángulo (o las relaciones de la sustitución) para expresar $\csc \theta$ y $\cot \theta$ en términos de $x$.
De $5x = 4 \tan \theta$, tenemos $\tan \theta = \frac{5x}{4}$.
Lado opuesto: $5x$
Lado adyacente: $4$
Hipotenusa: $\sqrt{(5x)^2 + 4^2} = \sqrt{25x^2 + 16}$
Las funciones trigonométricas son:
$$ \csc \theta = \frac{\text{Hipotenusa}}{\text{Opuesto}} = \frac{\sqrt{25x^2 + 16}}{5x} $$
$$ \cot \theta = \frac{\text{Adyacente}}{\text{Opuesto}} = \frac{4}{5x} $$
Sustituimos estas expresiones en la solución:
$$ I = \frac{1}{4} \ln \left| \frac{\sqrt{25x^2 + 16}}{5x} - \frac{4}{5x} \right| + C $$
$$= \frac{1}{4} \ln \left| \frac{\sqrt{25x^2 + 16} - 4}{5x} \right| + C$$
Resultado Final.
El resultado de la integral es:
$$ \int \frac{dx}{x\sqrt{25x^2 + 16}} = \frac{1}{4} \ln \left| \frac{\sqrt{25x^2 + 16} - 4}{5x} \right| + C $$
Espero que esta solución te sea de utilidad para ir desarrollando habilidades en las soluciones de integrales por sustitución trigonométricas.
- Colegio Nacional de Matemáticas. (2009). Matemáticas simplificadas (2ª ed.). México: Pearson Educación.
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Swokowski, E. W., & Cole, J. (2009). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (12.ª ed.). Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.
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