Determine la longitud del arco en el intervalo dado generado por la función \(y^2=x^3\) desde \(1 \leq x \leq 4\)
Solución:
Escribimos la función en términos de x
\(y^2=x^3\)
Elevamos a la \( \frac{1}{2}\) a ambos lados de la ecuación.
\((y^2)^\frac{1}{2}=(x^3)^\frac{1}{2}\)
Multiplicamos los exponentes aplicando la propiedad de la potenciación "potencia de potencia" \((a^n)^m=a^{mn}\)
\(y=x^\frac{3}{2}\)
Reescribimos la expresión en forma de radical
\(y=\sqrt{x^3}\)
Completamos la tabla
x 1 2 3 4
f(x) 1 2.8 5.2 8
\(f(1)=\sqrt{1^3}=1\)
\(f(2)=\sqrt{2^3}=\sqrt{8}=2.8\)
\(f(3)=\sqrt{3^3}=\sqrt{27}=5.2\)
\(f(4)=\sqrt{4^3}=\sqrt{64}=8\)
Graficamos la función para identificar la longitud del arco a determinar. Podemos ayudarnos con GeoGebra.
La longitud del arco se determina por medio de la formula:
\(L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+[f'(x)]^2}\, dx\)
Derivamos la función \(y=\sqrt{x^3}\)
Para facilitar la derivada la reescribimos así, \(y=x^\frac{3}{2}\)
Aplicamos la regla de la derivada de una variable elevada a una potencia \(\frac{dx^n}{dx}=nx^{n-1}\)
Ahora derivamos nuestra función \(f'(x)=\frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1}\)
\(f'(x)=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}\)
Sustituimos los limites de integración a, b y f'(x) en la fórmula de la longitud
\(L=\int_{1}^{4}\sqrt{1+[\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}]^2}\, dx\)
Simplificamos
\(L=\int_{1}^{4}\sqrt{1+\frac{9}{4}x}\, dx\)
Resolvemos esta integral por cambio de variables.
Hacemos
\(u=1+\frac{9}{4}x\)
Derivamos u con respecto a x
\(\frac{du}{dx}=\frac{d(1+\frac{9}{4}x)}{dx}\)
\(\frac{du}{dx}=\frac{9}{4}\)
\(du=\frac{9}{4}dx\)
\(\frac{du}{\frac{9}{4}}=dx\)
\(\frac{4}{9}du=dx\)
Hacemos la sustitución respectiva de la siguiente manera.
\(L=\int_{1}^{4}\sqrt{1+\frac{9}{4}x}\, dx=\int_{1}^{4}\sqrt{u}\,\frac{4}{9}du\)
Reescribimos esta integral
\(L=\frac{4}{9}\int_{1}^{4}u^{\frac{1}{2}}\,du\)
Integramos
\(L=\left.\frac{4}{9}\frac{u^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}\right|_{a}^{b} \)
\(L=\left.\frac{4}{9}\frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right|_{a}^{b} \)
\(L=\left.\frac{4}{9}\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}\right|_{a}^{b} \)
\(L=\left.\frac{8}{27}u^{\frac{3}{2}}\right|_{a}^{b} \)
\(L=\left.\frac{8}{27}(1+\frac{9}{4}x)^{\frac{3}{2}}\right|_{1}^{4} \)
\(L=\left.\frac{8}{27}\sqrt{(1+\frac{9}{4}x)^3}\right|_{1}^{4} \)
\(L=\frac{8}{27}\sqrt{(1+\frac{9}{4}4)^3}- \frac{8}{27}\sqrt{(1+\frac{9}{4}1)^3}\)
\(L=\frac{8}{27}\sqrt{(1+9)^3}- {\frac{8}{27}\sqrt{(1+\frac{9}{4})^3}}\)
\(L=\frac{8}{27}\sqrt{(10)^3}- {\frac{8}{27}\sqrt{(\frac{13}{4})^3}}\)
\(L=\frac{8}{27}10\sqrt{(10)}- {\frac{8}{27}\frac{13}{8}\sqrt{13}}\)
\(L=\frac{80}{27}\sqrt{10}- {\frac{13}{27}\sqrt{13}}\)
\(L=\frac{80\sqrt{10}-13\sqrt{13}}{27}\)
\(L=7.6337\)
Por lo tanto podemos asegurar que la longitud del arco es de 7.6337 unidades
Bibliografía:
- Colegio Nacional de Matemáticas (2009). Matemáticas simplificadas, 2ª ed. México: Pearson educación.
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