Matemática

Resolución de una Ecuación Diferencial Ordinaria con Transformada de Laplace Problema: Resolver la siguiente ecuación diferencial ordinaria con las condiciones iniciales dadas: \[y'' - 6y' + 13y = 2, \quad y(0) = 1, \quad y'(0) = 1\] Solución por Transformada de Laplace: Aplicamos la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación diferencial: \[\mathcal{L}\{y''\} - 6\mathcal{L}\{y'\} + 13\mathcal{L}\{y\} = \mathcal{L}\{2\}\] Usando las propiedades de la transformada de Laplace para las derivadas: \[(s^2 \mathcal{L}\{y(t)\} - sy(0) - y'(0)) - 6(s\mathcal{L}\{y(t)\} - y(0)) + 13\mathcal{L}\{y(t)\} = \frac{2}{s}\] Sustituyendo las condiciones iniciales \(y(0) = 1\) y \(y'(0) = 1\): \[(s^2 \mathcal{L}\{y(t)\} - s(1) - 1) - 6(s\mathcal{L}\{y(t)\} - 1) + 13\mathcal{L}\{y(t)\} = \frac{2}{s}\] \[s^2 \mathcal{L}\{y(t)\} - s - 1 - 6s\mathcal{L}\{y(t)\} + 6 + 13\mathcal{L}\{y(t)\} = \frac{2}{s}\] Agrupando los términos con \(\mathcal{L}\{y(t)\}\): \[(s...

Transformada de Laplace de una Función Definida por Partes Problema: Hallar \(\mathcal{L}\{f(t)\}\) si \[f(t) = \begin{cases}1, & 0 < t < 3 \\t, & t \geq 3\end{cases}\] Solución: La transformada de Laplace de una función \(f(t)\) se define como: \(\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) dt\) Para la función definida por partes dada, dividimos la integral en dos partes: \(\mathcal{L}\{f(t)\} = \int_{0}^{3} e^{-st} (1) dt + \int_{3}^{\infty} e^{-st} (t) dt\) Primera Integral: \(\int_{0}^{3} e^{-st} dt = \left[ -\frac{1}{s} e^{-st} \right]_{0}^{3} = -\frac{1}{s} e^{-3s} - \left(-\frac{1}{s} e^{0}\right) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s} e^{-3s}\) Segunda Integral (Integración por Partes): Usamos la fórmula de integración por partes: \(\int u dv = uv - \int v du\). Sea \(u = t \implies du = dt\) y \(dv = e^{-st} dt \implies v = -\frac{1}{s} e^{-st}\). \(\int_{3}^{\infty} t e^{-st} dt = \left[ -\frac{t}{s} e^{-st} \right]_{3}^{\infty} - \int_{3}^{\infty} -\fra...

En esta entrada explicamos un ejemplo sencillo donde aplicamos los teoremas de la transformada de Laplace para la función \(f(t)=t^4-3t^2+9\). Una de las aplicaciones importantes de la transforma de Laplace se da al momento de resolver ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes y condiciones iniciales, por el momento veremos como se aplican los teoremas de la transformada de Laplace. Para dar solución a lo planteado seguimos los siguientes pasos: 1) Aplicamos la linealidad de la transformada de Laplace: La transformada de Laplace de una suma o resta de funciones es la suma o resta de las transformadas de Laplace individuales. \[\mathcal{L}\{t^4 - 3t^2 + 9\} = \mathcal{L}\{t^4\} - 3\mathcal{L}\{t^2\} + \mathcal{L}\{9\} \] 2) Usamos la fórmula de la transformada de Laplace de \(t^n\): La transformada de Laplace de \(t^n\) es \(\frac{n!}{s^{n+1}}\) y la transformada de una constante que es \(\mathcal{L}\{c\}=\frac{c}{s}\). \[= \frac{4!}{s^{4+1}} - 3\frac{2!}{s^{2+1}} + \fra...

Resolución de la ecuación diferencial: \(y''+4y=4\cos(2x)\) con condiciones iniciales \(y(0)=1\), \(y'(\frac{\pi}{2})=0\) 1. Solución de la parte homogénea: La ecuación homogénea asociada es \(y''+4y=0\) La ecuación característica es \(\lambda^2+4=0\), cuyas raíces son \(\lambda = \pm 2i\). Dado que las raíces son complejas de la forma \(\alpha \pm \beta i\) con \(\alpha=0\) y \(\beta=2\), la solución general de la parte homogénea es: \[y_h(x) = c_1 \cos(2x) + c_2 \sin(2x)\] donde \(c_1\) y \(c_2\) son constantes arbitrarias. 2. Solución particular por variación de parámetros: Proponemos una solución particular de la forma \(y_p(x) = u(x)y_1(x) + v(x)y_2(x)\), donde \(y_1(x) = \cos(2x)\) e \(y_2(x) = \sin(2x)\). El Wronskiano de \(y_1\) e \(y_2\) es: \[W = \begin{vmatrix} \cos(2x) & \sin(2x) \\ -2\sin(2x) & 2\cos(2x) \end{vmatrix} = 2\cos^2(2x) + 2\sin^2(2x) = 2(\cos^2(2x) + \sin^2(2x)) = 2\] Las funciones \(u(x)\) y \(v(x)\) se encuentran mediante las si...

Problema de Sensibilidad Una compañía fabrica tres productos, A , B y C . El volumen de ventas de A es como mínimo 50% de las ventas totales de los tres productos. Sin embargo, la compañía no puede  vender más de 75 unidades por día. Los tres productos utilizan una materia prima de la cual la máxima disponibilidad diaria es de 240 lb. Las tasas de consumo de la materia  prima son de 2 lb por unidad de A , 4 lb por unidad de B, y 3 lb por unidad de C . Los precios unitarios de A , B y C son $20, $50 y $35, respectivamente.  (Hamdy A Taha, 2012) (a) Determine la combinación óptima de productos para la compañía. (b) Determine el precio dual de la materia prima y su intervalo permisible. Si la materia  prima disponible se incrementa en 120 lb, determine la solución óptima y el cambio del ingreso total mediante el precio dual. (c) Use el precio dual para determinar el efecto de cambiar la demanda máxima del  producto A en 6 +/- 10 unidades. Solución: De acuerdo a ...