Resolución de una Ecuación Diferencial Ordinaria con Transformada de Laplace: ¡Paso a Paso!
Resolución de una Ecuación Diferencial Ordinaria con Transformada de Laplace
Problema: Resolver la siguiente ecuación diferencial ordinaria con las condiciones iniciales dadas:
\[y'' - 6y' + 13y = 2, \quad y(0) = 1, \quad y'(0) = 1\]
Solución por Transformada de Laplace:
Aplicamos la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación diferencial:
\[\mathcal{L}\{y''\} - 6\mathcal{L}\{y'\} + 13\mathcal{L}\{y\} = \mathcal{L}\{2\}\]
Usando las propiedades de la transformada de Laplace para las derivadas:
\[(s^2 \mathcal{L}\{y(t)\} - sy(0) - y'(0)) - 6(s\mathcal{L}\{y(t)\} - y(0)) + 13\mathcal{L}\{y(t)\} = \frac{2}{s}\]
Sustituyendo las condiciones iniciales \(y(0) = 1\) y \(y'(0) = 1\):
\[(s^2 \mathcal{L}\{y(t)\} - s(1) - 1) - 6(s\mathcal{L}\{y(t)\} - 1) + 13\mathcal{L}\{y(t)\} = \frac{2}{s}\]
\[s^2 \mathcal{L}\{y(t)\} - s - 1 - 6s\mathcal{L}\{y(t)\} + 6 + 13\mathcal{L}\{y(t)\} = \frac{2}{s}\]
Agrupando los términos con \(\mathcal{L}\{y(t)\}\):
\[(s^2 - 6s + 13) \mathcal{L}\{y(t)\} - s + 5 = \frac{2}{s}\]
Despejando \(\mathcal{L}\{y(t)\}\):
\[(s^2 - 6s + 13) \mathcal{L}\{y(t)\} = \frac{2}{s} + s - 5\]
\[(s^2 - 6s + 13) \mathcal{L}\{y(t)\} = \frac{2 + s^2 - 5s}{s}\]
\[\mathcal{L}\{y(t)\} = \frac{s^2 - 5s + 2}{s(s^2 - 6s + 13)}\]
Descomposición en Fracciones Parciales:
El denominador tiene un factor lineal \(s\) y un factor cuadrático irreducible \(s^2 - 6s + 13\).
Proponemos la siguiente descomposición:
\[\frac{s^2 - 5s + 2}{s(s^2 - 6s + 13)} = \frac{A}{s} + \frac{Bs + C}{s^2 - 6s + 13}\]
Multiplicando por el denominador común \(s(s^2 - 6s + 13)\):
\[s^2 - 5s + 2 = A(s^2 - 6s + 13) + (Bs + C)s\]
\[s^2 - 5s + 2 = As^2 - 6As + 13A + Bs^2 + Cs\]
Agrupando términos por potencias de \(s\):
\[s^2 - 5s + 2 = (A + B)s^2 + (-6A + C)s + 13A\]
Igualando los coeficientes de las potencias de \(s\):
\(\begin{align*}A + B &= 1 \\-6A + C &= -5 \\13A &= 2\end{align*}\)
Resolviendo el sistema, obtenemos \(A = \frac{2}{13}\), \(B = \frac{11}{13}\), y \(C = -\frac{53}{13}\).
Por lo tanto, la descomposición en fracciones parciales es:
\[\mathcal{L}\{y(t)\} = \frac{2/13}{s} + \frac{(11/13)s - 53/13}{s^2 - 6s + 13}\]
\[\mathcal{L}\{y(t)\} = \frac{2}{13s} + \frac{11s - 53}{13(s^2 - 6s + 13)}\]
Completando el Cuadrado en el Denominador Cuadrático:
\[s^2 - 6s + 13 = (s - 3)^2 + 2^2\]
Reescribiendo el término con el denominador cuadrático:
\[\frac{11s - 53}{13((s - 3)^2 + 2^2)} = \frac{11(s - 3) - 20}{13((s - 3)^2 + 2^2)} = \frac{11}{13} \frac{s - 3}{(s - 3)^2 + 2^2} - \frac{10}{13} \frac{2}{(s - 3)^2 + 2^2}\]
Aplicando la Transformada Inversa de Laplace:
\[y(t) = \mathcal{L}^{-1}\{\mathcal{L}\{y(t)\}\} = \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2}{13s}\right\} + \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{11}{13} \frac{s - 3}{(s - 3)^2 + 2^2}\right\} - \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{10}{13} \frac{2}{(s - 3)^2 + 2^2}\right\}\]
Usando las transformadas inversas conocidas:
\[y(t) = \frac{2}{13} \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s}\right\} + \frac{11}{13} \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s - 3}{(s - 3)^2 + 2^2}\right\} - \frac{10}{13} \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2}{(s - 3)^2 + 2^2}\right\}\]
Obtenemos la solución:
\[y(t) = \frac{2}{13} (1) + \frac{11}{13} e^{3t} \cos(2t) - \frac{10}{13} e^{3t} \sin(2t)\]
\[y(t) = \frac{2}{13} + \frac{e^{3t}}{13} (11 \cos(2t) - 10 \sin(2t))\]
D. G. Zill. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Sexta edición: International Thomson editores, 1997.
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