Solución Completa: y′′+ 4y= 4cos(2x), y(0)=1, y′(π/2)=0
Resolución de la ecuación diferencial: \(y''+4y=4\cos(2x)\) con condiciones iniciales \(y(0)=1\), \(y'(\frac{\pi}{2})=0\)
1. Solución de la parte homogénea:
La ecuación homogénea asociada es \(y''+4y=0\)
La ecuación característica es \(\lambda^2+4=0\), cuyas raíces son \(\lambda = \pm 2i\).
Dado que las raíces son complejas de la forma \(\alpha \pm \beta i\) con \(\alpha=0\) y \(\beta=2\), la solución general de la parte homogénea es:
\[y_h(x) = c_1 \cos(2x) + c_2 \sin(2x)\]
donde \(c_1\) y \(c_2\) son constantes arbitrarias.
2. Solución particular por variación de parámetros:
Proponemos una solución particular de la forma \(y_p(x) = u(x)y_1(x) + v(x)y_2(x)\), donde \(y_1(x) = \cos(2x)\) e \(y_2(x) = \sin(2x)\).
El Wronskiano de \(y_1\) e \(y_2\) es:
\[W = \begin{vmatrix} \cos(2x) & \sin(2x) \\ -2\sin(2x) & 2\cos(2x) \end{vmatrix} = 2\cos^2(2x) + 2\sin^2(2x) = 2(\cos^2(2x) + \sin^2(2x)) = 2\]
Las funciones \(u(x)\) y \(v(x)\) se encuentran mediante las siguientes integrales:
\[u(x) = -\int \frac{y_2(x)r(x)}{W} dx = -\int \frac{\sin(2x) \cdot 4\cos(2x)}{2} dx = -2 \int \sin(2x)\cos(2x) dx\]
Usando la sustitución \(u = \sin(2x)\), \(du = 2\cos(2x) dx\), obtenemos:
\[u(x) = -2 \int u \frac{du}{2} = -\int u du = -\frac{u^2}{2} = -\frac{\sin^2(2x)}{2}\]
\[v(x) = \int \frac{y_1(x)r(x)}{W} dx = \int \frac{\cos(2x) \cdot 4\cos(2x)}{2} dx = 2 \int \cos^2(2x) dx\]
Usando la identidad \(\cos^2(2x) = \frac{1+\cos(4x)}{2}\):
\[v(x) = 2 \int \frac{1+\cos(4x)}{2} dx = \int (1+\cos(4x)) dx = x + \frac{1}{4}\sin(4x)\]
La solución particular es:
\[y_p(x) = u(x)\cos(2x) + v(x)\sin(2x) = -\frac{1}{2}\sin^2(2x)\cos(2x) + \left(x + \frac{1}{4}\sin(4x)\right)\sin(2x)\]
\[y_p(x) = -\frac{1}{2}\sin^2(2x)\cos(2x) + x\sin(2x) + \frac{1}{4}\sin(4x)\sin(2x)\]
Usando la identidad \(\sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x)\):
\[y_p(x) = -\frac{1}{2}\sin^2(2x)\cos(2x) + x\sin(2x) + \frac{1}{4}(2\sin(2x)\cos(2x))\sin(2x)\]
\[y_p(x) = -\frac{1}{2}\sin^2(2x)\cos(2x) + x\sin(2x) + \frac{1}{2}\sin^2(2x)\cos(2x) = x\sin(2x)\]
La solución general de la ecuación diferencial es:
\[y(x) = y_h(x) + y_p(x) = c_1 \cos(2x) + c_2 \sin(2x) + x\sin(2x)\]
3. Aplicación de las condiciones iniciales:
\[y(0) = 1 \implies c_1 \cos(0) + c_2 \sin(0) + 0\sin(0) = 1 \implies c_1(1) + c_2(0) + 0 = 1 \implies c_1 = 1\]
Para aplicar la segunda condición inicial, necesitamos la derivada de \(y(x)\):
\[y'(x) = -2c_1 \sin(2x) + 2c_2 \cos(2x) + \sin(2x) + 2x\cos(2x)\]
Sustituyendo \(c_1 = 1\):
\[y'(x) = -2 \sin(2x) + 2c_2 \cos(2x) + \sin(2x) + 2x\cos(2x) \]
\[y'(x)= -\sin(2x) + 2c_2 \cos(2x) + 2x\cos(2x)\]
\[y'(\frac{\pi}{2}) = 0 \implies -\sin(2\cdot\frac{\pi}{2}) + 2c_2 \cos(2\cdot\frac{\pi}{2}) + 2(\frac{\pi}{2})\cos(2\cdot\frac{\pi}{2}) = 0\]
\[-\sin(\pi) + 2c_2 \cos(\pi) + \pi\cos(\pi) = 0\]
\[-0 + 2c_2(-1) + \pi(-1) = 0\]
\[-2c_2 - \pi = 0 \implies -2c_2 = \pi \implies c_2 = -\frac{\pi}{2}\]
4. Solución final:
Sustituyendo los valores de \(c_1\) y \(c_2\) en la solución general, obtenemos la solución particular que satisface las condiciones iniciales:
\[y(x) = 1 \cdot \cos(2x) - \frac{\pi}{2} \sin(2x) + x\sin(2x)\]
\[y(x) = \cos(2x) + \left(x - \frac{\pi}{2}\right)\sin(2x)\]
D. G. Zill. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Sexta edición: International Thomson editores, 1997.
Comentarios
Publicar un comentario