La transformada de Laplace para la función f(t)=t^4-3t^2+9

En esta entrada explicamos un ejemplo sencillo donde aplicamos los teoremas de la transformada de Laplace para la función \(f(t)=t^4-3t^2+9\). Una de las aplicaciones importantes de la transforma de Laplace se da al momento de resolver ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes y condiciones iniciales, por el momento veremos como se aplican los teoremas de la transformada de Laplace.

Para dar solución a lo planteado seguimos los siguientes pasos:

1) Aplicamos la linealidad de la transformada de Laplace: La transformada de Laplace de una suma o resta de funciones es la suma o resta de las transformadas de Laplace individuales.

\[\mathcal{L}\{t^4 - 3t^2 + 9\} = \mathcal{L}\{t^4\} - 3\mathcal{L}\{t^2\} + \mathcal{L}\{9\} \]


2) Usamos la fórmula de la transformada de Laplace de \(t^n\): La transformada de Laplace de \(t^n\) es \(\frac{n!}{s^{n+1}}\) y la transformada de una constante que es \(\mathcal{L}\{c\}=\frac{c}{s}\).

\[= \frac{4!}{s^{4+1}} - 3\frac{2!}{s^{2+1}} + \frac{9}{s} \]

3) Calculamos las factoriales y simplificamos: \(4! = 24\) y \(2! = 2\). Multiplicamos los coeficientes y dejamos las fracciones con el mismo denominador.

\[= \frac{24}{s^5} - \frac{6}{s^3} + \frac{9}{s} \]

4) Realizamos la suma de fracciones: Obtenemos una sola fracción con el denominador común (s^5).

\[= \frac{24 - 6s^2 + 9s^4}{s^5}\]


El ejercicio resuelto de forma directa se ve así:

\[\mathcal{L}\{t^4 - 3t^2 + 9\} = \mathcal{L}\{t^4\} - 3\mathcal{L}\{t^2\} + \mathcal{L}\{9\} \]

\[= \frac{4!}{s^{4+1}} - 3\frac{2!}{s^{2+1}} + \frac{9}{s} \]

\[= \frac{24}{s^5} - \frac{6}{s^3} + \frac{9}{s} \]

\[= \frac{24 - 6s^2 + 9s^4}{s^5}\]


D. G. Zill. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Sexta edición: International Thomson editores, 1997.


I.Carmona, E. F. López. Ecuaciones diferenciales. Quinta edición. Pearson, 2011.

Colegio Nacional de Matemáticas (2009). Matemáticas simplificadas, 2ª ed. México: Pearson educación.

⚡ Mini Test: Transformada de Laplace

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