Transformada de Laplace de una Función Definida por Partes: ¡Ejemplo Detallado!

Transformada de Laplace de una Función Definida por Partes

Problema: Hallar \(\mathcal{L}\{f(t)\}\) si

\[f(t) = \begin{cases}1, & 0 < t < 3 \\t, & t \geq 3\end{cases}\]

Solución:

La transformada de Laplace de una función \(f(t)\) se define como:

\(\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) dt\)

Para la función definida por partes dada, dividimos la integral en dos partes:

\(\mathcal{L}\{f(t)\} = \int_{0}^{3} e^{-st} (1) dt + \int_{3}^{\infty} e^{-st} (t) dt\)

Primera Integral:

\(\int_{0}^{3} e^{-st} dt = \left[ -\frac{1}{s} e^{-st} \right]_{0}^{3} = -\frac{1}{s} e^{-3s} - \left(-\frac{1}{s} e^{0}\right) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s} e^{-3s}\)

Segunda Integral (Integración por Partes):

Usamos la fórmula de integración por partes: \(\int u dv = uv - \int v du\).

Sea \(u = t \implies du = dt\) y \(dv = e^{-st} dt \implies v = -\frac{1}{s} e^{-st}\).

\(\int_{3}^{\infty} t e^{-st} dt = \left[ -\frac{t}{s} e^{-st} \right]_{3}^{\infty} - \int_{3}^{\infty} -\frac{1}{s} e^{-st} dt\)

Evaluando el primer término:

\(\lim_{T \to \infty} \left( -\frac{T}{s} e^{-sT} \right) - \left( -\frac{3}{s} e^{-3s} \right)\)

Para \(s > 0\), \(\lim_{T \to \infty} -\frac{T}{s e^{sT}} = 0\) (usando la regla de L'Hôpital).

Así, el primer término es \(0 + \frac{3}{s} e^{-3s} = \frac{3}{s} e^{-3s}\).

Ahora, evaluamos el segundo término:

\(\int_{3}^{\infty} \frac{1}{s} e^{-st} dt = \frac{1}{s} \left[ -\frac{1}{s} e^{-st} \right]_{3}^{\infty} = \frac{1}{s} \left( \lim_{T \to \infty} -\frac{1}{s} e^{-sT} - \left( -\frac{1}{s} e^{-3s} \right) \right)\)

Para \(s > 0\), \(\lim_{T \to \infty} -\frac{1}{s} e^{-sT} = 0\).

Entonces, la segunda integral es \(\frac{1}{s} \left( 0 + \frac{1}{s} e^{-3s} \right) = \frac{1}{s^2} e^{-3s}\).

Combinando los resultados:

\(\mathcal{L}\{f(t)\} = \left( \frac{1}{s} - \frac{1}{s} e^{-3s} \right) + \left( \frac{3}{s} e^{-3s} + \frac{1}{s^2} e^{-3s} \right)\)

\(\mathcal{L}\{f(t)\} = \frac{1}{s} + e^{-3s} \left( -\frac{1}{s} + \frac{3}{s} + \frac{1}{s^2} \right)\)

\(\mathcal{L}\{f(t)\} = \frac{1}{s} + e^{-3s} \left( \frac{2}{s} + \frac{1}{s^2} \right)\)

\(\mathcal{L}\{f(t)\} = \frac{1}{s} + \frac{2s + 1}{s^2} e^{-3s}, \quad s > 0\)

D. G. Zill. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Sexta edición: International Thomson editores, 1997.

I.Carmona, E. F. López. Ecuaciones diferenciales. Quinta edición. Pearson, 2011.

Colegio Nacional de Matemáticas (2009). Matemáticas simplificadas, 2ª ed. México: Pearson educación.