Problema 3: Determinación de precios duales e intervalos de factibilidad
Problema de Sensibilidad
Una compañía fabrica tres productos, A, B y C. El volumen de ventas de A es como mínimo 50% de las ventas totales de los tres productos. Sin embargo, la compañía no puede vender más de 75 unidades por día. Los tres productos utilizan una materia prima de la cual la máxima disponibilidad diaria es de 240 lb. Las tasas de consumo de la materia prima son de 2 lb por unidad de A, 4 lb por unidad de B, y 3 lb por unidad de C. Los precios unitarios de A, B y C son $20, $50 y $35, respectivamente. (Hamdy A Taha, 2012)
(a) Determine la combinación óptima de productos para la compañía.
(b) Determine el precio dual de la materia prima y su intervalo permisible. Si la materia prima disponible se incrementa en 120 lb, determine la solución óptima y el cambio del ingreso total mediante el precio dual.
(c) Use el precio dual para determinar el efecto de cambiar la demanda máxima del producto A en 6 +/-10 unidades.
Solución: De acuerdo a la información brindada por el problema construimos el modelo de programación lineal que lo modela.
Una compañía produce tres productos \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) con los siguientes datos:
Función objetivo (Maximizar el ingreso): \(z = 20x_1 + 50x_2 + 35x_3\)
Restricciones:
\(-0.5x_1 + 0.5x_2 + 0.5x_3 \leq 10\)
\(x_1 \le 75\)
\(2x_1 + 4x_2 + 3x_3 \leq 240\)
\(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) \(\geq 0\)
Reescribimos el sistema de desigualdades en forma de sistema de ecuaciones con sus respectivas variables de holguras y sus respectivos cambios en el lado derecho.
Maximizar \(z-20x_1-50x_2-35x_3=0\)
Sujeta a:
\(-0.5x_1+0.5x_2+0.5x_3+s_1\le 0+D_1\)
\(x_1+s_2\le 75+D_2\)
\(2x_1+4x_2+3x_3+s_3\le 240+D_3\)
Tabla inicial: Se plantea la tabla inicial del Simplex con las variables de holgura \(s_1\), \(s_2\), \(s_3\)) y los cambios en el lado derecho \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\).
Iteraciones: Se realizan las iteraciones del método Simplex en Excel para llegar a la tabla óptima.
Tabla optima:
Precios duales: El valor de la función objetivo puede escribirse como \(z=2800+\frac{20}{3}D_1+0D_2+\frac{35}{3}D_3\)
La ecuación muestra que:
1. Un cambio unitario en la restricción 1 (volumen de ventas) \( D_1= \pm 1 \) cambia a z
en $\(\frac{20}{3}\).
2. Un cambio unitario en la restricción 2 (unidad de ventas por día) \( D_2= \pm 1 \) cambia a z
en $0.
3. Un cambio unitario en la restricción 3 (Disponibilidad diaria de materia prima) ( D_3= \pm 1\) cambia a z en $\(\frac{35}{3}\).
Respuestas a las preguntas
(a) Combinación óptima de productos:
La combinación óptima es: \(x_1 = 40\), \(x_2 = 40\), \(x_3 = 0\).
El ingreso máximo es \(z = 2800\).
(b) Precio dual de la materia prima (primera restricción):
El precio dual de la materia prima es 11.66 (o 35/3). Esto significa que por cada unidad adicional de materia prima, el ingreso aumentará en $11.66.
El rango permisible para la materia prima se obtiene a partir de:
\(x_2 = 40 + \frac{2}{3}D_1 + \frac{1}{6}D_3 \)
\(s_2 = 35 + \frac{4}{3}D_1 + D_2 - \frac{1}{6}D_3 \)
\(x_1 = 40 - \frac{4}{3}D_1 + \frac{1}{6}D_3\)
Si hacemos \(D_1=D_2=0\) obtenemos
\(x_2 = 40 + \frac{D_3}{6} \geq 0\)
\(s_2 = 35 - \frac{D_3}{6} \geq 0\)
\(x_1 = 40 + \frac{D_3}{6}\geq 0\)
De donde obtenemos el intervalo
\(-240 \leq D_3 \leq 210\)
Si la materia prima aumenta en 120 unidades, el cambio en el ingreso total sería: \(120 \times \frac{35}{3} = {$}1400\).
En nuevo valor optimo es:
\(x_1 = 40 + \frac{120}{6} = 60 \text{ unidades} \)
\(x_2 = 40 + \frac{120}{6} = 60 \text{ unidades} \)
\(x_3 = 0 \)
\(Nuevo ingreso= 2800 + \left(\frac{35}{3}\right)(120) \)
\(= \$4200\)
(c) Efecto de cambiar la demanda máxima del producto A (segunda restricción):
El precio dual de la demanda máxima del producto A es 0. Esto significa que un cambio en la demanda máxima del producto A no afectará el ingreso total.
Hamdy A Taha (Ed.). (2012). Investigación de operaciones (Séptima edición). Pearson.
Comentarios
Publicar un comentario