Matemática

¿Alguna vez te has preguntado cuánto tiempo te tomaría pagar una deuda si aumentas tus pagos cada mes? En la vida diaria existen una gran variedad de las aplicaciones de las matemáticas y una de ellas las podemos evidenciar en el planteamiento y solución del siguiente problema.  Un hombre salda un préstamo de $ 3250, pagando en el primer mes $ 20 y después aumentando el pago en $ 15 cada mes. ¿Cuánto tiempo le tomará liquidar su préstamo? (Arya & Lardner, 2009). Solución: En este problema, los pagos mensuales forman una sucesión aritmética, ya que cada pago es $15 más que el anterior. Esto significa que podemos modelar la situación utilizando una fórmula específica para calcular la suma de los términos de una sucesión aritmética. En este caso identificamos que la suma de los n términos es \(S_n=$ 3250\), el primer termino es de \($ 20\) y la diferencia común es de \(d=$ 15\) donde n representa el número de pagos a realizar para saldar la deuda. La fórmula que nos permite d...

Para ejemplificar las aplicaciones de las funciones matemáticas seccionadas o por trazos planteamos la solución de este problema que no deja de ser interesante al momento de tomar decisiones basadas en datos numéricos: Hay dos opciones de renta de autos disponible para un viaje de cuatro días. La opción I es $45 por día, con 200 millas gratis y $0.40 por milla por cada milla adicional. La opción II es de $58.75 por día, con un cargo de $0.25 por milla.       A.    Determine el costo de un viaje de 500 millas para ambas opciones.            B.     Modele los datos con una función de costo para cada opción de cuatro días.          C .     Haga una tabla que contenga una lista del recorrido en millas y el cargo para cada opción para viajes entre 100 y 1200 millas, usando incrementos de 100 millas.      D.    Use la tabla para determinar el recorr...

Los \(\frac{2}{3}\) de la suma de 2 números es 92 y los \(\frac{3}{8}\) de su diferencia es 3. Encuentra los números. (Colegio Nacional de Matemáticas, 2009, p. 420) Solución: Si llamamos x el número mayor. y el número menor. Los \(\frac{2}{3}\) de la suma de 2 números es  \(\frac{2}{3}(x+y)\)   los \(\frac{3}{8}\) de la diferencia de los 2 números es \(\frac{3}{8}(x-y)\) Si seguimos al pie de la letra las indicaciones del problemas identificamos rápidamente que se forma el sistema de ecuaciones. \(\frac{2}{3}(x+y)=92\)   Ec.1  \(\frac{3}{8}(x-y)=3\)     Ec. 2 Resolveremos esta ecuación por el método de sustitución. Si multiplicamos a ambos lados de la Ec1. por  \(\frac{3}{2}\)  obtenemos  \(\frac{3}{2}*\frac{2}{3}(x+y)=92*\frac{3}{2}\)  \(x+y=138\) De este resultado despejamos  \(y\)  \(y=138-x\) Sustituimos y en la Ec.2 y resolvemos para la variable x \(\frac{3}{8}(x-(138-x))=3\) Multiplicamos por \(\frac{...

¿Cuánto pagará Esteban al final? Resolvamos el siguiente problema de aplicación de las sucesiones aritméticas.  Los pagos mensuales de Esteban al banco ocasionados por un préstamo forman una PA. Si el octavo y décimo quinto pagos son de $153 y $181, respectivamente. ¿Cuál será su vigésimo pago? (Arya & Lardner, 2009) Solución: El término n-ésimo de una progresión aritmética o sucesión aritmética esta dado por la expresión \[a_n=a_1+(n-1)d\]        Si el octavo pago es de $153 quiere decir que esto ocurre cuando \[n=8; a_8=153\] Si sustituimos estos valores en el término n-ésimo obtenemos  \[153=a_1+(8-1)d\] o bien   \[a_1+7d=153\]  a quien llamaremos ecuación 1 (Ec. 1). Si el décimo quinto pago es de $181 quiere decir que esto ocurre cuando \[n=15; a_15=181\] Si sustituimos estos valores en el término n-ésimo obtenemos:   \[181=a_1+(15-1)d\] o bien   \[a_1+14d=181\]  a quien llamaremos ecuación 2 (Ec. 2). Por lo q...

Método de iteración punto fijo. Este método pertenece a métodos abiertos. En análisis numérico los métodos abiertos se basan en fórmulas que requieren únicamente de un solo valor de inicio \(x_0\) , o que empiecen con un par de ellos, pero que no necesariamente encierran la raíz. Éstos, algunas veces divergen o se alejan de la raíz verdadera a medida que se avanza en el cálculo. Sin embargo, cuando los métodos abiertos convergen lo hacen mucho más rápido que los métodos cerrados. (Chapra & Canale, 2007). ¿Cómo funciona el método? Al arreglar la ecuación f(x)=0 de tal manera que x esté al lado izquierdo de la ecuación x=g(x) (es decir despejar x en términos de x), esto se logra al realizar operaciones algebraicas o simplemente sumando x en cada lado de la ecuación original. Al obtener este despeje \(x=g(x)\) obtenemos una función iterativa nos proporcionará las aproximaciones sucesivas a la raíz en función de los valores anteriores de x, este medo requiere de un valor inicial razo...

    Método de regula falsi o falsa posición . Esta técnica es semejante a la bisección , salvo que la siguiente iteración se toma en la intersección de una recta entre el par de valores x y el eje x, en vez de en el punto medio. De esta manera se obtiene convergencia más rápida que con la bisección, pero por otra parte obtenemos un algoritmo más complicado. (Chapra & Canale, 2007). Determinar una raíz \(f(x)=0\) dados valores iniciales \(x_0 y x_1\) y que contienen a la raíz de la función, es decir que cumplen el teorema de Bolzano Algoritmo del método de la regla falsa. Hacer Repeat  \(x_2=x_1-f(x_1)\frac{x_0-x_1}{f(x_0)-f(x_1)}\) if \(f(x_2)\) es de signo opuesto a \(f(x_0)\) Hacer \(x_1=x_2\) Else  Hacer \(x_0=x_2\) Endif Until \(|f(x_2)|<tolerancia\)   Aplicar el método de la falsa posición para resolver la siguiente ecuación: \(3x+sin(x)-e^x=0\) con \(x_0=0\) y \(x_1=1\)   iteración  x0 x1 f(x0) f(x1) x2 f(x2) 1 0.000000 1.000000 -1.00000...