Matemática

El área de la base de un cilindro es de \(40\pi{m^2}\). Exprese el volumen en función de su altura. Solución: El volumen de un cilindro se determina por \(v=A_b*h\)  Donde \(A_b\) es el área de la base del cilindro y h la altura del cilindro. El área de la base del cilindro dada por el problema es \(A_b=40\pi\) y la sustituimos en la formula del volumen.  \(v=A_b*h\)  \(v=40\pi*h\)  Podemos escribir el volumen del cilindro en función de su altura de la siguiente manera. \(v(h)=40\pi*h\)  Esto significa que con esta fórmula podemos determinar el volumen del cilindro planteado asignando valores de la altura.

Si el ancho de un rectángulo es la quinta parte de su largo, determina el perímetro en función de su área. Solución:  Para resolver problemas de este tipo lo primero que haremos es declarar las variables que vamos a utilizar. Sea x el largo del rectángulo. Sea \(\frac{1}{5}x\) el ancho del rectángulo, de acuerdo a las indicaciones del problema. El área del rectángulo se determina por medio de la ecuación A =base por ancho (\(A=a*b\)) \[A=x*\frac{1}{5}x\] \[A=\frac{1}{5}x^2\] Despejamos la variable x \[5A=x^2\] \[\sqrt{5A}=x\] \[x=\sqrt{5A}\] Sabemos que el perímetro del rectángulo se determina como: \[p=2a+2b\] donde a es el largo y b es el ancho. Sustituimos el largo y respectivo en la ecuación y obtenemos: \[p=2x+2*\frac{1}{5}x\] Simplificamos: \[p=2x+\frac{2x}{5}\] \[p=\frac{10x+2x}{5}\] \[p=\frac{12x}{5}\] Sustituimos el valor de x \[p=\frac{12\sqrt{5A}}{5}\] De esta manera hemos obtenido el perímetro de un rectángulo con las características del problema dado en función de su ...

 Dada una circunferencia de radio r, precisa el área de la circunferencia en función de su diámetro. Solución:  Sabemos que el diámetro de una circunferencia es igual a dos veces el radio.  \[d=2r\] Donde d es el diámetro y r es su radio.  Si despejamos el radio obtenemos: \[r=\frac{d}{2}\] Sabemos que el área de una circunferencia es: \[A=\pi*r^2\] Sustituimos el radio \(r=\frac{d}{2}\), en el área y obtenemos: \[A=\pi*(\frac{d}{2})^2\] Desarrollamos la potencia para obtener: \[A=\pi*(\frac{d^2}{4})\] Finalmente podemos escribir el área de la circunferencia en función del diámetro de la siguiente manera: \[A(d)=\frac{\pi*d^2}{4}\]  Bibliografía: Colegio Nacional de Matemáticas (2009).  Matemáticas simplificadas,  2ª ed. México: Pearson educación.

  Resuelve la ecuación cuadrática:  \[6x^2 + x - 12 = 0\]   Solución: resolvemos la ecuación dada aplicando el método de factorización. Primero aplicamos la factorización de la forma  \(ax^2+bx+c\), multiplicamos toda la ecuación por 6 dejando indicado el producto en primero y segundo término y dividimos toda la ecuación por 6 de la siguiente manera:  \[\frac{(6x)^2+(6x)-72}{6}=0\]   En el numerador aplicamos la factorización \(x^2+bx+c\)  \[\frac{(6x+ \quad ) (6x - \quad )}{6}=0\]   y buscamos dos números que multiplicados den \(72\) y restados den \(1\). Estos números son \(9\) y \(8\).  \[\frac{(6x+ 9 ) (6x - 8 )}{6}=0\]   En ambos factores del numerador tenemos factor común:  \[\frac{3(2x+ 3 ) 2(3x - 4 )}{6}=0\]  Simplificamos: \[(2x+ 3 ) (3x - 4 )=0\]  Aplicamos el teorema del factor cero e igualamos cada factor a cero:   \[ 3x - 4 = 0 \quad \text{y} \quad 2x + 3 = ...

Resuelve correctamente la siguiente integral definida $$\int_{-3}^{3} \frac{x^2 + 9}{6} \, dx$$ Rescribimos la integral   $$\int_{-3}^{3} [\frac{x^2}{6} + \frac{9}{6}]\, dx$$ Separamos en dos integrales: $$ \int_{-3}^{3} \frac{x^2}{6}\, dx +  \int_{-3}^{3} \frac{9}{6} \, dx$$ Sacamos las constantes de las integrales:  $$\frac{1}{6} \int_{-3}^{3} x^2 \, dx + \frac{9}{6} \int_{-3}^{3} 1 \, dx$$ Integramos: $$\frac{1}{6} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-3}^{3} + \frac{9}{6} \left[ x \right]_{-3}^{3}$$ Evaluando los límites: $$\frac{1}{6} \left( \frac{3^3}{3} - \frac{(-3)^3}{3} \right) + \frac{9}{6} \left( 3 - (-3) \right)$$ Simplificando: $$\frac{1}{6} \left( \frac{27}{3} - \frac{-27}{3} \right) + \frac{9}{6} \left( 3 + 3 \right)$$  $$\frac{1}{6} \left( \frac{27}{3} + \frac{27}{3} \right) + \frac{9}{6} \left( 3 + 3 \right)$$  $$\frac{1}{6} \left( \frac{54}{3} \right) + \frac{9}{6} \left( 6 \right)$$  $$\frac{18}{6} + \frac{54}{6}$$ $$3 + 9 = 12$$ Por...

Determinar el área entre las curvas dadas por las funciones  \(x^2 + y^2 = 18\) y  \(x^2 = 6y - 9\) Solución: despejamos en ambas funciones la variable y para reescribir estas funciones en términos de x. Despejamos y en la primera función. \[x^2 + y^2 = 18\] \[y^2 = 18-x^2\] \[y=\sqrt{18-x^2}\] Despejamos y en la segunda función. \[y^2 = 6y - 9\] \[x^2 +9= 6y\] \[y=\frac{x^2+9}{6}\] Graficamos ambas funciones para visualizar el área a encontrar.  El área se determina por medio de la formula  \[A = \int_{a}^{b} \left(f(x) - g(x)\right) \, dx\] Los límites de integración: Primero, encontramos los puntos de intersección resolviendo el sistema de ecuaciones, este resultado nos dará los limites de integración: \[\sqrt{18-x^2}=\frac{x^2+9}{6}\] Elevamos al cuadrado a ambos lados de la ecuación. \[18-x^2=\frac{(x^2+9)^2}{6^2}\] Desarrollamos los cuadrados  \[18-x^2=\frac{x^4+18x^2+81}{36}\] Multiplicamos toda la ecuación por 36 \[36(18-x^2)=x^4+18x^2+81\] Realizamos l...