Integral definida

Resuelve correctamente la siguiente integral definida

$$\int_{-3}^{3} \frac{x^2 + 9}{6} \, dx$$

Rescribimos la integral 
 $$\int_{-3}^{3} [\frac{x^2}{6} + \frac{9}{6}]\, dx$$

Separamos en dos integrales:

$$ \int_{-3}^{3} \frac{x^2}{6}\, dx +  \int_{-3}^{3} \frac{9}{6} \, dx$$

Sacamos las constantes de las integrales: 

$$\frac{1}{6} \int_{-3}^{3} x^2 \, dx + \frac{9}{6} \int_{-3}^{3} 1 \, dx$$

Integramos:

$$\frac{1}{6} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-3}^{3} + \frac{9}{6} \left[ x \right]_{-3}^{3}$$

Evaluando los límites:

$$\frac{1}{6} \left( \frac{3^3}{3} - \frac{(-3)^3}{3} \right) + \frac{9}{6} \left( 3 - (-3) \right)$$

Simplificando:

$$\frac{1}{6} \left( \frac{27}{3} - \frac{-27}{3} \right) + \frac{9}{6} \left( 3 + 3 \right)$$ 

$$\frac{1}{6} \left( \frac{27}{3} + \frac{27}{3} \right) + \frac{9}{6} \left( 3 + 3 \right)$$ 

$$\frac{1}{6} \left( \frac{54}{3} \right) + \frac{9}{6} \left( 6 \right)$$ 

$$\frac{18}{6} + \frac{54}{6}$$ $$3 + 9 = 12$$

Por lo tanto, la integral es:

$$\int_{-3}^{3} \frac{x^2 + 9}{6} \, dx = 12$$

Bibliografía:

• Colegio Nacional de Matemáticas (2009). Matemáticas simplificadas, 2ª ed. México: Pearson educación.