Ecuación cuadrática - Método de factorización.
Resuelve la ecuación cuadrática:
\[6x^2 + x - 12 = 0\]
Solución: resolvemos la ecuación dada aplicando el método de factorización.
Primero aplicamos la factorización de la forma \(ax^2+bx+c\), multiplicamos toda la ecuación por 6 dejando indicado el producto en primero y segundo término y dividimos toda la ecuación por 6 de la siguiente manera:
\[\frac{(6x)^2+(6x)-72}{6}=0\]
En el numerador aplicamos la factorización \(x^2+bx+c\)
\[\frac{(6x+ \quad ) (6x - \quad )}{6}=0\]
y buscamos dos números que multiplicados den \(72\) y restados den \(1\). Estos números son \(9\) y \(8\).
\[\frac{(6x+ 9 ) (6x - 8 )}{6}=0\]
En ambos factores del numerador tenemos factor común:
\[\frac{3(2x+ 3 ) 2(3x - 4 )}{6}=0\]
Simplificamos:
\[(2x+ 3 ) (3x - 4 )=0\]
Aplicamos el teorema del factor cero e igualamos cada factor a cero:
\[
3x - 4 = 0 \quad \text{y} \quad 2x + 3 = 0
\]
Para el primer factor:
\[
3x = 4 \implies x = \frac{4}{3}
\]
Para el segundo factor:
\[
2x = -3 \implies x = -\frac{3}{2}
\]
Por lo tanto, las soluciones son:
\[
x = \frac{4}{3} \quad \text{y} \quad x = -\frac{3}{2}
\]
Comprobamos para \(x=\frac{4}{3}\)
\[6x^2 + x - 12 = 0\]
\[6(\frac{4}{3})^2 + \frac{4}{3} - 12 = 0\]
\[6(\frac{16}{9}) + \frac{4}{3} - 12 = 0\]
Simplificamos:
\[2(\frac{16}{3}) + \frac{4}{3} - 12 = 0\]
\[(\frac{32}{3}) + \frac{4}{3} - 12 = 0\]
\[(\frac{32+4}{3}) - 12 = 0\]
\[12 - 12 = 0\]
\[0 = 0\]
Comprobamos para \(x= -\frac{3}{2}\)
\[6x^2 + x - 12 = 0\]
\[6(-\frac{3}{2})^2 + (-\frac{3}{2}) - 12 = 0\]
\[6(\frac{9}{4})-\frac{3}{2} - 12 = 0\]
Simplificamos:
\[3(\frac{9}{2})-\frac{3}{2} - 12 = 0\]
\[(\frac{27}{2})-\frac{3}{2} - 12 = 0\]
\[\frac{27-3}{2} - 12 = 0\]
\[\frac{24}{2} - 12 = 0\]
\[12 - 12 = 0\]
\[0 = 0\]
Bibliografía:
Swokowski, A. (2009). Álgebra y Trigonometría (12ª edición). Cengage Learning.
Comentarios
Publicar un comentario