Área entre curvas planas
Determinar el área entre las curvas dadas por las funciones \(x^2 + y^2 = 18\) y
\(x^2 = 6y - 9\)
Solución: despejamos en ambas funciones la variable y para reescribir estas funciones en términos de x.
Despejamos y en la primera función.
\[x^2 + y^2 = 18\]
\[y^2 = 18-x^2\]
\[y=\sqrt{18-x^2}\]
Despejamos y en la segunda función.
\[y^2 = 6y - 9\]
\[x^2 +9= 6y\]
\[y=\frac{x^2+9}{6}\]
Graficamos ambas funciones para visualizar el área a encontrar.
\[A = \int_{a}^{b} \left(f(x) - g(x)\right) \, dx\]
Los límites de integración:
Primero, encontramos los puntos de intersección resolviendo el sistema de ecuaciones, este resultado nos dará los limites de integración:
\[\sqrt{18-x^2}=\frac{x^2+9}{6}\]
Elevamos al cuadrado a ambos lados de la ecuación.
\[18-x^2=\frac{(x^2+9)^2}{6^2}\]
Desarrollamos los cuadrados
\[18-x^2=\frac{x^4+18x^2+81}{36}\]
Multiplicamos toda la ecuación por 36
\[36(18-x^2)=x^4+18x^2+81\]
Realizamos las multiplicaciones indicadas.
\[648-36x^2=x^4+18x^2+81\]
Ordenamos la ecuación y la igualamos a cero.
\[648-36x^2=x^4+18x^2+81\]
\[648-36x^2-x^4-18x^2-81=0\]
\[-x^4-54^2+567=0\]
Multiplicamos toda la ecuación por -1
\[x^4+54^2-567=0\]
Resolvemos la ecuación por factorización, aplicando el trinomio de la forma \(ax^2+bx+c)\
\[(x^2+63)(x^2-9)=0\]
\(x^2+63=0 \quad \text{o bien}\quad x^2-9=0\)
Resolvemos por factorización \(x^2-9=0\)
\[(x+3)(x-3)=0\]
\[x=3 \quad \text{y} \quad x=-3\] serán los intercepto para la variable x.
Para saber los intercepto para la variable y sustituyendo ‘x’ en la segunda ecuación:
\[x^2 = 6y - 9\]
\[9 = 6y - 9\]
\[6y = 18\]
\[y = 3\]
Por lo tanto, los puntos de intersección son \((3, 3)\) y \((-3, 3)\).
Área entre las curvas:
El área entre las curvas es la integral de la diferencia entre las funciones \(y=\sqrt{18-x^2} \quad \text{y} \quad y=\frac{x^2+9}{6}\) desde \(x = -3\) hasta \(x = 3\):
\[A = \int_{-3}^{3} \left(\sqrt{18-x^2}- \frac{x^2+9}{6}\right) \, dx\]
Resolviendo la integral separando en dos integrales:
\[A = \int_{-3}^{3} \left(\sqrt{18-x^2}\right) \, dx- \int_{-3}^{3} \left(\frac{x^2+9}{6}\right) \, dx\]
Resolvemos las integrales por separado
\[\int_{-3}^{3} \sqrt{18-x^2} \, dx\]
Para resolver esta integral, aplicamos sustitución trigonométrica.
Escribimos las razones trigonométricas.
\[\sin(z)=\frac{x}{3\sqrt2}\]
Despejamos x
\[x=3\sqrt2\sin(z)\]
Derivamos x con respecto a z
\[dx=3\sqrt2\cos(z) dz\]
Obtenemos el coseno de z para despejar el radical.
\[\cos(z)=\frac{\sqrt{18-x^2}}{3\sqrt2}\]
\[\sqrt{18-x^2}=3\sqrt2\cos(z)\]
Realizamos la sustitución trigonométrica a nuestra integral.
\[\int_{-3}^{3} \sqrt{18-x^2} \, dx=\int_{-3}^{3} 3\sqrt2\cos(z)*3\sqrt2\cos(z) \, dz\]
\[=18\int_{-3}^{3} \cos^2(z) \, dz\]
\[18 \int_{-3}^{3} \cos^2(z) \, dz\]
Para resolver esta integral, utilizamos la identidad trigonométrica:
\[\cos^2(z) = \frac{1 + \cos(2z)}{2}\]
Sustituyendo en la integral:
\[18 \int_{-3}^{3} \cos^2(z) \, dz = 18 \int_{-3}^{3} \frac{1 + \cos(2z)}{2} \, dz\]
Resolvemos.
\[9[z+\frac{1}{2}\sin(2z)]\]
Aplicamos la identidad trigonométrica \(\sin(2z)=2\sin(z)cos(z)\)
\[9[z+\sin(z)\cos(z)]\]
Reescribimos la solución en términos de x
\[9\left[\arcsin\left(\frac{x}{3\sqrt{2}}\right) + \frac{x}{3\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{18-x^2}}{3\sqrt{2}}\right]\]
\[9\left[\arcsin\left(\frac{x}{3\sqrt{2}}\right) + \frac{x\sqrt{18-x^2}}{18}\right]\]
Evaluamos este resultado desde x=-3 hasta x=3
\[\left. 9\left[\arcsin\left(\frac{x}{3\sqrt{2}}\right) + \frac{x\sqrt{18-x^2}}{18}\right] \right|_{-3}^{3}\]
\[9\left[\arcsin\left(\frac{3}{3\sqrt{2}}\right) + \frac{3\sqrt{18-3^2}}{18}\right]-9\left[\arcsin\left(\frac{-3}{3\sqrt{2}}\right) + \frac{-3\sqrt{18-(-3)^2}}{18}\right]\]
Simplificamos:
\[9\left[\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}\right] - 9\left[-\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\right]\]
\[18 \left(\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}\right) = \frac{9\pi}{2} + 9\]
Resolvemos ahora la otra parte de la integral.
\[\int_{-3}^{3} \left(\frac{x^2 + 9}{6}\right) \, dx\]
Podemos separar la integral en dos partes:
\[\int_{-3}^{3} \left(\frac{x^2 + 9}{6}\right) \, dx = \frac{1}{6} \int_{-3}^{3} x^2 \, dx + \frac{1}{6} \int_{-3}^{3} 9 \, dx\]
Resolvemos:
\[\frac{1}{6} \int_{-3}^{3} x^2 \, dx = \frac{1}{6} \cdot 18 = 3\]
Ahora, resolvemos la integral de \(9\):
\[\frac{1}{6} \int_{-3}^{3} 9 \, dx = \frac{1}{6} \cdot 54 = 9\]
Sumando ambas partes:
\[\frac{1}{6} \int_{-3}^{3} x^2 \, dx + \frac{1}{6} \int_{-3}^{3} 9 \, dx = 3 + 9 = 12\]
Por lo tanto, la solución de la integral es:
\[\int_{-3}^{3} \left(\frac{x^2 + 9}{6}\right) \, dx = 12\]
Para obtener la solución final restamos las dos soluciones
\[A= \frac{9\pi}{2} + 9-12\]
\[A= 11.1371 u^2\]
Bibliografía:
- Colegio Nacional de Matemáticas (2009). Matemáticas simplificadas, 2ª ed. México: Pearson educación.
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