Matemática

  ¿Cómo se aplican las funciones matemáticas en la mecánica? Las aplicaciones de las funciones matemáticas en la mecánica son muchas, recordemos que una función matemática es una relación uno a uno entre dos conjuntos llamados dominio y el otro rango, un ejemplo de tantos que se pueden ver es el que describe a continuación. El número de millas M que cierto automóvil puede recorrer con un galón de gasolina, a una velocidad de v mi/h, está dado por M=-1/30v^2+5/2v para 0<v<70 (a) Encuentre la velocidad más económica para un viaje. (b) Encuentre el máximo valor de M. Solución: Podemos interpretar que la expresión matemática M=-1/30v^2+5/2v para 0<v<70 es el modelo matemático obtenido después de que el fabricante de autos a realizado una serie de pruebas. En este caso podemos identificar dos variables, M que es la variable dependiente y que representa el número de millas recorridas por el auto con un galón de gasolina. La variable v que es la variable independiente y que...

 Determinar el siguiente limite, verificar si es indeterminado y si lo es, eliminar la indeterminación. Solución: Primero se evalúa el limite de forma directa.  Una ves verificado que el limite es indeterminado, eliminamos la indeterminación racionalizando el numerador. En el numerador obtenemos el producto de la suma por la diferencia de dos cantidades y en el denominador dejamos indicada la multiplicación. Se resuelven las potencias y luego la diferencia en el numerador. Simplificamos los factores comunes en el numerador y denominador. Calculamos el límite al resultado obtenido. Racionalizamos para eliminar el radical del denominador. Finalmente podemos afirmar que 

  Limites indeterminados. Son aquellos limites cuyos resultados son 0/0. A veces es posible eliminar la indeterminación, éstas se pueden eliminar factorizando o racionalizando, una vez simplificada las expresiones se determina el límite. Ejemplo: calcular  Solución: Evaluamos la función cuando en x=2, es decir. Lo cual nos da un límite indeterminado. Ahora buscamos eliminar la indeterminación factorizando el numerador de la función. Simplificamos y obtenemos  Evaluamos este último limite obtenido siempre cuando x=2 para obtener

  Limites por evaluación. El limite por evaluación se obtiene al aplicar las propiedades de los limites y evaluar el valor al cual tiende la variable en la función dada o propuesta. Ejercicios resueltos.

  Límite de una función. En matemáticas las funciones se utilizan para modelar fenómenos que pueden ser físicos, económicos, sociales, etc. Dichas funciones son importantes porque nos permiten analizarlas o estudiarlas con la finalidad de que los resultados obtenidos nos ayuden a la toma de decisiones. Uno de esos conceptos importantes en el estudio de las funciones es el limite. En una función matemática en dos variables identificamos una variable dependiente “y” y una variable independiente “x”. Podemos interpretar como límite de una función al valor al cual tiende o se aproxima la variable dependiente “y” cuando la variable independiente “x” se aproxima a un valor especifico. En la vida real nos encontramos con situaciones donde aparecen los limites, por ejemplo, cuando un bebe nace, éste empieza su crecimiento, al pasar los años llega un momento en que ya no sigue creciendo, es decir, que a pesar de que los años pasen este bebe (que se convertirá en adulto) ya no seguirá ...

  Resolver y’’-3y’+2y=e^(-4t);y(0)=1,y^' (0)=5 Despejamos Y(s) Separamos en fracciones parciales. Multiplicamos toda la ecuación por (s+4)(s-2)(s-1) A partir de la última expresión obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones. Resolvemos por reducción.

 Resolver: y’’+3y’+2y=0, con las condiciones iniciales y(0)=1, y’(0)=1 Aplicamos transformada de Laplace a toda la ecuación diferencial. L{y’’+3y’+2y}=L{0} Por linealidad obtenemos: L{y’’}+3L{y’}+2L{y}=0 Aplicamos las transformadas de las derivadas s^2 Y(s)-sY(0)-y^' (0)+3(sY(s)-y(0))+2Y(s)=0 Aplicamos las condiciones iniciales. s^2 Y(s)-s(1)-1+3(sY(s)-1)+2Y(s)=0 s^2 Y(s)-s-1+3sY(s)-3+2Y(s)=0 s^2 Y(s)-s+3sY(s)-4+2Y(s)=0 Dejamos al lado izquierdo todos los términos que contienen Y(s) s^2 Y(s)+3sY(s)+2Y(s)=s+4 Sacamos factor común Y(s) en el miembro izquierdo de la ecuación. Y(s)(s^2+3s+2)=s+4 Y(s)=(s+4)/(s^2+3s+2) Descomponemos en fracciones parciales (s+4)/(s^2+3s+2)=(s+4)/((s+2)(s+1))=A/(s+2)+B/(s+1) Multiplicamos toda la ecuación por (s+2)(s+1) s+4=A(s+1)+B(s+2) s+4=As+A+Bs+2B s+4=(As+Bs)+(A+2B) s+4=(A+B)s+(A+2B) A partir de la ultima expresión obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones. A+B=1 A+2B=4 Al resolver el sistema por el método de reducción obtenemos. -2A-2B=-2 A+2B=4 ...

Transformada inversa de Laplace. Definición. Transformada inversa de Laplace. Si L{f(t)}=F(s), entonces, L^(-1) {F(s)}=f(t) se llama transformada inversa de F(s). Notación: L^(-1) {F(s)} indica que vamos a obtener la función f (t) cuya transformada es precisamente F(s). También la transformada inversa es lineal. Ejemplo 1: Encontrar f(t) dada su transformada de Laplace F(s), donde f(t)=L^(-1) {f(t)} F(s)=〖(s+2)〗^2/s^3  Solución: Primero desarrollamos el cuadrado del binomio. F(s)=(s^2+2(s)(2)+2^2)/s^3  F(s)=(s^2+4s+4)/s^3  El denominador divide a cada término del numerador. F(s)=s^2/s^3 +4s/s^3 +4/s^3  Ahora simplificamos. F(s)=1/s+4/s^2 +4/s^3  Buscamos f(t) f(t)=L^(-1) {1/s+4/s^2 +4/s^3 } Por linealidad de la transformada inversa obtenemos: f(t)=L^(-1) {1/s}+L^(-1) {4/s^2 }+L^(-1) {4/s^3 } f(t)=L^(-1) {1/s}+4L^(-1) {1/s^2 }+4L^(-1) {1/s^3 } f(t)=L^(-1) {1/s}+4L^(-1) {1/s^2 }+4/2! L^(-1) {2!/s^3 } f(t)=1+4t+2t^2 Ejemplo 2: Encontrar f(t) dada su transformada de...

  Función cuadrática. Una función f es función cuadrática si f(x)=ax^2+bx+c donde a, b, y c son números reales con a diferente de cero. Si a= 0 y b=0, entonces la función tiene la forma f(x)=ax^2, cuya grafica es una parábola con vértices en el origen. Si a > 0, la parábola abre hacia arriba o es cóncava hacia arriba y si a<0 la parábola es cóncava hacia abajo. https://www.geogebra.org/classic/p3qtvuey Si b=0, entonces y=ax^2+c. La grafica es una parábola con vértice en el punto (0, c) sobre el eje y. Ecuación estándar de una parábola. f(x)=a(x-h)^2+k. El vértice de la parábola y=ax^2+bx+c tiene coordenada x=h=-b/2a y coordenada y=k=f(-b/2a), es decir v(x,y). f(-b/2a) es el valor máximo de f si a<0. f(-b/2a) es el valor mínimo de f si a>0. Ejemplo: graficar la función f(x)=x^2-3 Ejemplo de aplicación. Un agricultor desea poner una cerca alrededor de un campo rectangular y luego dividir el campo en tres terrenos rectangulares al poner dos cercas paralela...

  Función lineal. Una función f es una función lineal si f(x)=a x + b donde x es cualquier número real y a y b son constantes. La función lineal puede ser escrita como y=m x + b donde m es la pendiente o inclinación de la recta. Además, la gráfica de una función lineal es una recta con pendiente m y que corta al eje y en b. En general la gráfica de una función lineal con pendiente positiva es una recta inclinada hacia la derecha del eje y, y cuando la pendiente es negativa la grafica es una recta inclinada hacia la izquierda del eje y. https://www.geogebra.org/classic/swda386q Por ejemplo, la gráfica de la función f(x)=3x+6 es una recta con pendiente 3 y que corta al eje y en 6. Ejercicios. Graficar las funciones. f(x) = 0.25x-3 f(x)=2x+1 f(x)=-4x+3 f(x)=x

  Relaciones y funciones. Una relación entre dos conjuntos X y Y es un conjunto de pares ordenados, cada uno de la forma (x, y), donde x es un elemento de X y y un elemento de Y. Una relación es una correspondencia entre dos conjuntos con ciertas propiedades. En una relación a cada elemento del primer conjunto le corresponde al menos un elemento del segundo conjunto. Si a cada elemento de un conjunto le corresponde solo un elemento del otro conjunto estamos hablando de función. Una función matemática siempre es una relación matemática, pero no toda relación matemática es una función. Ejemplos de relaciones matemáticas que podemos encontrar en la cotidianidad: 1)       A cada estudiante del aula de clase le corresponde un nombre. 2)       A cada auto de la ciudad le corresponde un número de placa. 3)       A cada estudiante del aula le corresponde una estatura. 4)       Cada hogar ...