Función cuadrática.

Una función f es función cuadrática si f(x)=ax^2+bx+c

donde a, b, y c son números reales con a diferente de cero.

Si a= 0 y b=0, entonces la función tiene la forma f(x)=ax^2, cuya grafica es una parábola con vértices en el origen. Si a > 0, la parábola abre hacia arriba o es cóncava hacia arriba y si a<0 la parábola es cóncava hacia abajo. https://www.geogebra.org/classic/p3qtvuey

Si b=0, entonces y=ax^2+c. La grafica es una parábola con vértice en el punto (0, c) sobre el eje y.

Ecuación estándar de una parábola. f(x)=a(x-h)^2+k.

El vértice de la parábola y=ax^2+bx+c tiene coordenada x=h=-b/2a y coordenada y=k=f(-b/2a), es decir v(x,y).

f(-b/2a) es el valor máximo de f si a<0.

f(-b/2a) es el valor mínimo de f si a>0.

Ejemplo: graficar la función f(x)=x^2-3

Ejemplo de aplicación.

Un agricultor desea poner una cerca alrededor de un campo rectangular y luego dividir el campo en tres terrenos rectangulares al poner dos cercas paralelas a uno de los lados. Si el agricultor puede comprar sólo 1000 yardas de cerca, ¿Qué dimensiones darán el máximo de área rectangular?

Solución:

Sea x el largo 

y el ancho del terreno rectangular.

El perímetro total a usar de cerca es p=2x+4y

Como solo se dispone de 1000 yardas, entonces 2x+4y=1000 de donde despejamos y

4y=1000-2x

y=(1000-2x)/4

El área del terreno es A=base x altura

A=x*y     (1)

Sustituimos y en (1) 

A=x((1000-2x)/4)

A(x)=(1000x-2x^2)/4

A(x)=250x-0.5x^2

Para determinar el área máxima calculamos el vértice de la ecuación cuadrática 

x=h=-b/2a=-250/(-2(0.5) )=250

Ahora calculamos 

k=A(-b/2a)=f(250)=250(250)-0.5(250)^2=31250 yad^2

Para saber el valor que corresponde a y sustituimos el valor de x en la ecuación 

y=(1000-2x)/4=(1000-2(250))/4=125

Es decir que las coordenadas del terreno deben ser 250 yardas de largo y 125 yardas de ancho. 

https://www.geogebra.org/classic/upuy8zmd

Ejercicios:

f(x)= 2x^2 - 4x - 11

f(x) =- 3x^2- 6x -6 

f(x)=- x2 - 6x