Transformada inversa de Laplace.


Transformada inversa de Laplace.

Definición. Transformada inversa de Laplace. Si L{f(t)}=F(s), entonces, L^(-1) {F(s)}=f(t) se llama transformada inversa de F(s).

Notación: L^(-1) {F(s)} indica que vamos a obtener la función f (t) cuya transformada es precisamente F(s). También la transformada inversa es lineal.

Ejemplo 1: Encontrar f(t) dada su transformada de Laplace F(s), donde f(t)=L^(-1) {f(t)}

F(s)=〖(s+2)〗^2/s^3 

Solución:

Primero desarrollamos el cuadrado del binomio.

F(s)=(s^2+2(s)(2)+2^2)/s^3 

F(s)=(s^2+4s+4)/s^3 

El denominador divide a cada término del numerador.

F(s)=s^2/s^3 +4s/s^3 +4/s^3 

Ahora simplificamos.

F(s)=1/s+4/s^2 +4/s^3 

Buscamos f(t)

f(t)=L^(-1) {1/s+4/s^2 +4/s^3 }

Por linealidad de la transformada inversa obtenemos:

f(t)=L^(-1) {1/s}+L^(-1) {4/s^2 }+L^(-1) {4/s^3 }

f(t)=L^(-1) {1/s}+4L^(-1) {1/s^2 }+4L^(-1) {1/s^3 }

f(t)=L^(-1) {1/s}+4L^(-1) {1/s^2 }+4/2! L^(-1) {2!/s^3 }

f(t)=1+4t+2t^2

Ejemplo 2: Encontrar f(t) dada su transformada de Laplace F(s), donde f(t)=L^(-1) {f(t)}

F(s)=(3s-2)/(s^2+4)

Buscamos f(t)

f(t)=L^(-1) {(3s-2)/(s^2+4)}

El denominador divide a cada término del numerador.

f(t)=L^(-1) {3s/(s^2+4)}-L^(-1) {2/(s^2+4)}

f(t)=〖3L〗^(-1) {s/(s^2+4)}-L^(-1) {2/(s^2+4)}

f(t)=3cos2t-sen2t

Ejemplo 3: Encontrar f(t) dada su transformada de Laplace F(s), donde f(t)=L^(-1) {f(t)}

F(s)=(s+4)/(s^2+3)

Buscamos f(t)

f(t)=L^(-1) {(s+4)/(s^2+3)}

El denominador divide a cada término del numerador.

f(t)=L^(-1) {s/(s^2+3)}+L^(-1) {4/(s^2+3)}

f(t)=L^(-1) {s/(s^2+〖(√3)〗^2 )}+〖4/√3 L〗^(-1) {√3/(s^2+〖(√3)〗^2 )}

f(t)=cos√3 t+(4√3)/3 sen√3 t

Ejemplo 4: Encontrar f(t) dada su transformada de Laplace F(s), donde f(t)=L^(-1) {f(t)}

F(s)=(7s-4)/(s^2+9)

Buscamos f(t)

f(t)=L^(-1) {(7s-4)/(s^2+9)}

El denominador divide a cada término del numerador.

f(t)=L^(-1) {7s/(s^2+9)}-L^(-1) {4/(s^2+9)}

f(t)=〖7L〗^(-1) {s/(s^2+9)}-4/3 L^(-1) {3/(s^2+9)}

f(t)=7cos3t-4/3 sen3t

Ejercicios: Encontrar f(t) dada su transformada de Laplace F(s). 

  1.      F(s)=((1/s+1/s^2-3/(s-2)))     R.  f(t)=t - 3*exp(2*t) + 1 
  2.            F(s)=(1/s^3+6/s+1/(s+9))       R. f(t)=exp(-9*t) + t^2/2 + 6
  3.     F(s)=(1/(s-1)+3/s^2)            R. f(t)=3*t + exp(t)
  4.      F(s)=(1/(2*s-1)+3/s^2)          R. f(t)=3*t + exp(t/2)/2    








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