Relaciones y funciones.

Una relación entre dos conjuntos X y Y es un conjunto de pares ordenados, cada uno de la forma (x, y), donde x es un elemento de X y y un elemento de Y.

Una relación es una correspondencia entre dos conjuntos con ciertas propiedades. En una relación a cada elemento del primer conjunto le corresponde al menos un elemento del segundo conjunto.

Si a cada elemento de un conjunto le corresponde solo un elemento del otro conjunto estamos hablando de función.

Una función matemática siempre es una relación matemática, pero no toda relación matemática es una función.

Ejemplos de relaciones matemáticas que podemos encontrar en la cotidianidad:

1)      A cada estudiante del aula de clase le corresponde un nombre.

2)      A cada auto de la ciudad le corresponde un número de placa.

3)      A cada estudiante del aula le corresponde una estatura.

4)      Cada hogar le corresponde un consumo de energía.

5)      A cada estudiante le corresponde una nota de la asignatura Matemáticas.

Una función de X a Y es una relación entre X y Y con la propiedad de que, si dos pares ordenados tienen el mismo valor de x, entonces también tienen el mismo valor de y. La variable x se denomina variable independiente, mientras que la variable y se denomina variable dependiente.

Ejemplo. Para niños entre 6 y 10 años, la estatura y (en pulgadas) es frecuentemente una función lineal de la edad t (en años). La estatura de cierto niño es de 48 pulgadas a los 6 años de edad y 50.5 pulgadas a los 7.

(a) Exprese y como función de t.

(b) Trace la recta de la parte (a) e interprete la pendiente.

(c) Prediga la estatura del niño a la edad de 10 años.

Solución:

Sea y la estatura en pulgadas y t la edad en años. En este caso y es la variable dependiente y t la variable independiente.

Cuando y=48 pulgadas entonces t=6 años y graficamos el par (6,48)

Cuando y=50.5 pulgadas entonces t=7 años y graficamos el par (7,50.5)

Ejercicio.

 En 1993 y 2000, los precios promedio pagados por un auto nuevo fueron $16,871 y $20,356 respectivamente. Suponga que el precio promedio aumentó linealmente.

(a) Encuentre una función f que modele el precio promedio pagado por un auto nuevo. Grafique f junto con los dos puntos de datos.

(b) Interprete la pendiente de la gráfica de f.

(c) Gráficamente aproxime el año cuando el promedio de precio pagado sería $25,000.

(d) Estime el precio promedio en el año 1996.

Funciones pares e impares.

1.    La función y = f(x) es par si f(-x) = f(x). Es simétrica con respecto al eje y.

2.       La función y =f(x) es impar si f(-x) = - f(x). Es simétrica con respecto al origen.