Solución de ecuaciones diferenciales aplicando transformada de Laplace 1.

 Resolver: y’’+3y’+2y=0, con las condiciones iniciales y(0)=1, y’(0)=1

Aplicamos transformada de Laplace a toda la ecuación diferencial.

L{y’’+3y’+2y}=L{0}

Por linealidad obtenemos:

L{y’’}+3L{y’}+2L{y}=0

Aplicamos las transformadas de las derivadas

s^2 Y(s)-sY(0)-y^' (0)+3(sY(s)-y(0))+2Y(s)=0

Aplicamos las condiciones iniciales.

s^2 Y(s)-s(1)-1+3(sY(s)-1)+2Y(s)=0

s^2 Y(s)-s-1+3sY(s)-3+2Y(s)=0

s^2 Y(s)-s+3sY(s)-4+2Y(s)=0

Dejamos al lado izquierdo todos los términos que contienen Y(s)

s^2 Y(s)+3sY(s)+2Y(s)=s+4

Sacamos factor común Y(s) en el miembro izquierdo de la ecuación.

Y(s)(s^2+3s+2)=s+4

Y(s)=(s+4)/(s^2+3s+2)

Descomponemos en fracciones parciales

(s+4)/(s^2+3s+2)=(s+4)/((s+2)(s+1))=A/(s+2)+B/(s+1)

Multiplicamos toda la ecuación por (s+2)(s+1)

s+4=A(s+1)+B(s+2)

s+4=As+A+Bs+2B

s+4=(As+Bs)+(A+2B)

s+4=(A+B)s+(A+2B)

A partir de la ultima expresión obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones.

A+B=1

A+2B=4

Al resolver el sistema por el método de reducción obtenemos.

-2A-2B=-2

A+2B=4

_____________

-A               =2

A               =-2

Sustituimos el valor de A en la ecuación 2

-2+2B=4

Despejamos A

2B=4+2

2B=6

B=3

Sustituimos los valores de A y B en Y(s)

Y(s)=(s+4)/(s^2+3s+2)=A/(s+2)+B/(s+1)

Y(s)=(-2)/(s+2)+3/(s+1)

Ahora aplicamos la transformada inversa L^(-1) a toda la ecuación para obtener y(t).

y(t)=L^(-1) {(-2)/(s+2)+3/(s+1)}

Por linealidad de la transformada inversa obtenemos

y(t)=L^(-1) {(-2)/(s+2)}+L^(-1) {3/(s+1)}

y(t)= -2L^(-1) {1/(s+2)}+ 3L^(-1) {1/(s+1)}

Aplicando los teoremas de transformada inversa finalmente obtenemos.

y(t)=-2e^(-2t)+ 3e^(-t)