Matemática

En esta entrada se explica paso a paso la solución de un problema relacionado con la  industria y que se encuentra como un problema propuesto en el libro Algebra y Trigonometría de Swokowski, A. (2009). Donde podemos apreciar como las matemáticas tienen un papel importante en la construcción de barriles de petróleos para optimizar la cantidad de material disponible y garantizar la capacidad de almacenamiento de combustible. En la solución del problema podemos ver como las aplicación del álgebra y geometría permite dar respuesta al problema planteado quedando este ejercicio como un modelo a seguir para otras situaciones similares.    🛢️Se va a fabricar un barril de petróleo, con forma de un cilindro circular recto cerrado de 4 pies de altura, de modo que el área superficial total sea de\( 10 \pi \, \text{ft}^2 \). Encuentre el diámetro del barril. Solución: Recordemos la fórmula que determina el área superficial total de un cilindro circular recto. Área superficial tota...

 Un terreno rectangular que tiene dimensiones de 26 por 30 pies está rodeado por una banqueta de ancho uniforme. Si el área de la banqueta es de \(240 ft^2\), cuál es su ancho? Solución: para resolver este ejercicio es necesario hacer un bosquejo o diagrama que represente lo planteado y a partir de ahí, planteamos lo siguiente: Sea \(26+2x\) el ancho total del terreno que incluye a la banqueta.        \(30+2x\) el largo del terreno que incluye a la banqueta. Ahora resolvemos la ecuación cuadrática \( (30+2x)(26+2x) -780=240\)                                                                            \(780+60x+52x+4x^2-780=240\)                             ...

 Resolver: Solución: Bibliografía: Colegio Nacional de Matemáticas (2009).  Matemáticas simplificadas,  2ª ed. México: Pearson educación.

Resolver: \[\int{xcos(4x)}\,dx\] Solución: esta integral se resuelve por el método llamado integral por partes. La integral por partes es una técnica de integración que se utiliza para integrar producto de funciones. En este caso el producto a integrar es entre una función polinomial y una función trigonométrica.  El método se resume por medio de la siguiente fórmula:  \[\int{u\,dv}=uv-\int{v\,du}\] Caso: producto de una función polinomial y una trigonométrica. En este caso se debe hacer u a la función polinómica y dv a la función trigonométrica. Hacemos:  \(u=x \Rightarrow \frac{du}{dx}=1\Rightarrow du=dx\) (Derivamos u con respecto a x para despejar du) \(dv=cos(4x)dx \Rightarrow \int{\,dv}=\int cos(4x)\, dx  \Rightarrow v=\frac{1}{4}sen(x)\) (Integramos a ambos lados para obtener v) Una vez que tenemos u, du y dv se sustituyen la fórmula de la integral por parte \(\int{u\,dv}=uv-\int{v\,du}\) de la siguiente manera \(\int{xcos(4x)}\,dx=x\frac{1}{4}sen(...

Resolver la siguiente integral: \[\int csc^2⁡(x)\sqrt{3+cot(x)}\, dx\]  Solución: esta integral se resuelve por cambio de variables.  Hacemos: \[u=3+cot(x)\]  Derivamos u con respecto a x  "Recordemos que la derivada de una constante, es cero (\(\frac{d3}{dx}=0\)) y la derivada de la cotangente de x, es menos cosecante cuadrada de x (\(\frac{dcot(x)}{dx}=-csc^2(x)\))" \(\frac{du}{dx}=-csc^2 (x)\) Multiplicamos por dx a ambos lados de la ecuación  du=-csc^2 (x)dx  Multiplicamos por -1 a ambos lados de la ecuación \(-du=(-csc^2 (x)dx)(-1)\) \( -du=csc^2 (x)dx \) Reescribimos nuestra integral original de la siguiente manera, únicamente para facilitar el cambio de variables de u por \(3+cot(x)\) y \(csc^2(x) dx\) por du. \(\int csc^2 (x)\sqrt{3+cot(x)}\, dx=\int \sqrt{3+cot(x)}  csc^2 (x)\, dx\)                                        ...

 Resolver la  siguiente integral \[ \int x^2{(x+1)^3} \, dx \] Solución: esta integral se resuelve de forma inmediata, recordemos que las integrales inmediatas son aquellas que se resuelven directamente con las reglas básicas de integración.  Paso 1  Desarrollamos el cubo de x+1, es decir \((x+1)^3=(x)^3+3(x^2)(1)+3(x)(1)^2+(1)^3\) \((x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1\) Nota: recordemos el producto notable "el cubo de la suma de dos cantidades" \((a+b)^3=(a)^3+3(a)^2(b)+3(a)(b)^2+(b)^3\)  Paso 2 Ahora la integral nos queda de la siguiente manera  \[ \int x^2(x^3+3x^2+3x+1) \, dx \] Paso 3 Resolvemos la multiplicación  \(x^2(x^3+3x^2+3x+1)=x^5+3x^4+3x^3+x^2\) Paso 4 Reescribimos de nuevo nuestra integral para luego aplicarle los teoremas de integrales inmediatas y determinar su solución.  \( \int x^2(x^3+3x^2+3x+1) \, dx = \int (x^5+3x^4+3x^3+x^2) \, dx\)                           ...

Para resolver integrales de funciones exponenciales partimos de la integral inmediata.  \[\int e^u\,du =e^u+c\] Este tipo de integrales es posible resolverlas por cambio de variables. Las integrales por cambio de variables son aquellas integrales que se resuelven haciendo una sustitución de la integral original dada en términos de una variable por otra integral pero esta vez en términos de otra variable y que resulta más fácil de integrar que la integral original.  Resolver la integra dada: \[ \int x^2e^{x^3} \, dx \] Solución: esta integral se resuelve aplicando cambio de variables de la siguiente manera: Hacemos: \(u=x^3\) derivamos u con respecto a x \(\frac{du}{dx}=3x^2\) despejamos el diferencial \(x^2dx\) \(du=3x^2dx\) \(\frac{du}{3}=x^2dx\) Reescribimos nuestra integral original de la siguiente manera para facilitar el cambio de variable y sustituimos \(u=x^3\) y \(\frac{du}{3}=x^2dx\) \[ \int e^{x^3}x^2 \, dx =\int e^{u} \, \frac{du}{3}\] \[=\frac{1}{3}\int e^u\,du...

Un jardín cuadrado se va a cultivar y luego a cerrar con una cerca. Si ésta cuesta $1 por pie y el costo de preparar el suelo es de $0.50 por \( ft^2\), determine el tamaño del jardín que pueda encerrarse a un costo de $120. Sea x el lado en pies del jardín que tiene forma cuadrada. El costo total = el costo por el perímetro del cuadrado + el costo de preparar el suelo por pie cuadrado. \[ 120=1*4x + 0.5*x^2\] O bien, \[ 0.5x^2+4x-120=0\] La fórmula general para resolver una ecuación cuadrática $$ax^2+bx+c=0 $$ es: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] ​donde  \[ a=0.5, b=4 y c=-120\] Sustituimos estos valores en la formula general \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(0.5)(-120)}}{2(0.5)} \] \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{16+240}}{1} \] \[ x = {-4 \pm \sqrt{256}} \] ​​ \[ x = {-4 \pm 16} \] ​​ \[ x = -4 + 16=12 \] ​​ \[ x = -4 - 16=-20 \] ​​Esta ecuación cuadrática tiene dos soluciones, x=12 y x=-20. Obviamente tomaremos como respuesta correcta el valor de x positivo, es decir q...

 La ecuación cuadrática tiene la forma $$ ax^2 + bx + c = 0 $$ para resolverla puedes recurrir a las siguientes formas de solución como:  1) Factorización.  2) Completación de un trinomio cuadrado perfecto.  3) Formula general. La ecuación cuadrática es una excelente herramienta que ayuda a resolver diversos problemas de aplicaciones en diversas áreas. Por ejemplo:  Una pelota de beisbol es lanzada directamente hacia arriba con una velocidad inicial de 64 ft/s. El número de pies s sobre el suelo después de t segundos está dado por la ecuación \[ s =-16t^2+64t \]. (a) ¿Cuándo estará la pelota a 48 pies sobre el suelo? (b) ¿Cuándo regresará al suelo?  Solución:  a)¿Cuándo estará la pelota a 48 pies sobre el suelo? Para responder esta pregunta sustituimos s por 48 ft de la siguiente manera.  \[ 48  =-16t^2+64t \] o bien    \[ -16t^2+64t=48 \] Ahora si observamos e igualamos esta ecuación a cero tenemos una ecuación cuadrática que se ...