Cómo calcular las dimensiones de un barril de petróleo: Problema resuelto de Swokowski.

En esta entrada se explica paso a paso la solución de un problema relacionado con la  industria y que se encuentra como un problema propuesto en el libro Algebra y Trigonometría de Swokowski, A. (2009). Donde podemos apreciar como las matemáticas tienen un papel importante en la construcción de barriles de petróleos para optimizar la cantidad de material disponible y garantizar la capacidad de almacenamiento de combustible. En la solución del problema podemos ver como las aplicación del álgebra y geometría permite dar respuesta al problema planteado quedando este ejercicio como un modelo a seguir para otras situaciones similares.   

🛢️Se va a fabricar un barril de petróleo, con forma de un cilindro circular recto cerrado de 4 pies de altura, de modo que el área superficial total sea de\( 10 \pi \, \text{ft}^2 \). Encuentre el diámetro del barril.

Solución:

Recordemos la fórmula que determina el área superficial total de un cilindro circular recto.

Área superficial total = 2 veces el área de la base +  longitud de la circunferencia  de la base por la altura del cilindro.

\(A=2*\pi*r^2+\pi*d*h\)

Donde r es el radio de la base de la circunferencia, d su diámetro y h la altura del cilindro.

Sustituimos el valor del área y la altura en la fórmula anterior, el diámetro lo reescribimos como \(d=2r\) 

\(10\pi=2*\pi*r^2+\pi*2r*4\)

\(10\pi=2*\pi*r^2+8*\pi*r\)

Observamos que tenemos una ecuación cuadrática con la variable \(r\), que igualamos a cero y luego resolvemos por factorización.

\(2*\pi*r^2+8*\pi*r-10\pi=0\)

Dividimos entre  \(2\pi\) toda la ecuación,.

\(\frac{2\pi}{2\pi}r^2+\frac{8\pi}{2\pi}r-\frac{10\pi}{2\pi}=\frac{0}{2\pi}\) 

\(r^2+4r-5=0\)

Factorizamos

\((r+ 5)(r-1 )=0\)

Aplicamos el teorema del factor cero.

\(r+ 5=0\) o \(r-1=0\)

Resolvemos cada ecuación igualada a cero.

\(r=- 5\)

\(r=1\)

Obteniendo dos valores para r, descartando el valor negativo, por lo que el radio de nuestro cilindro es \(r=1\)

Ahora determinamos el diámetro sustituyendo \(r=1\) en \(d=2r\) y obtenemos 

\(d=2(1)\)

\(d=2 ft\)

Concluimos que el diámetro del barril descrito en el problema es igual a 2 pies.

Bibliografía:

Swokowski, A. (2009). Álgebra y Trigonometría (12ª edición). Cengage Learning.

📝 Autoevaluación: ¿Qué aprendimos hoy?

1. ¿Cuál es la fórmula correcta para el área superficial total de un cilindro circular recto cerrado?

A) $A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$

B) $V = \pi r^2 h$

C) $A = \pi d h$

2. ¿Por qué simplificamos la ecuación dividiendo entre $2\pi$?

A) Para trabajar con coeficientes más sencillos.

B) Porque el valor de $\pi$ no importa en ingeniería.

3. ¿Por qué descartamos la solución matemática $r = -5$?

A) Por convención del libro de texto.

B) Porque no existen longitudes físicas negativas.

4. Si el radio es $1$ ft, ¿cuál es el diámetro final del barril?

A) 1 pie

B) 2 pies

C) 4 pies