Integral por partes.

Resolver: \[\int{xcos(4x)}\,dx\]

Solución: esta integral se resuelve por el método llamado integral por partes. La integral por partes es una técnica de integración que se utiliza para integrar producto de funciones. En este caso el producto a integrar es entre una función polinomial y una función trigonométrica. 

El método se resume por medio de la siguiente fórmula:  \[\int{u\,dv}=uv-\int{v\,du}\]

Caso: producto de una función polinomial y una trigonométrica. En este caso se debe hacer u a la función polinómica y dv a la función trigonométrica.

Hacemos:

 \(u=x \Rightarrow \frac{du}{dx}=1\Rightarrow du=dx\) (Derivamos u con respecto a x para despejar du)

\(dv=cos(4x)dx \Rightarrow \int{\,dv}=\int cos(4x)\, dx  \Rightarrow v=\frac{1}{4}sen(x)\) (Integramos a ambos lados para obtener v)

Una vez que tenemos u, du y dv se sustituyen la fórmula de la integral por parte \(\int{u\,dv}=uv-\int{v\,du}\) de la siguiente manera

\(\int{xcos(4x)}\,dx=x\frac{1}{4}sen(4x)-\int{\frac{1}{4}sen(4x)\,dx}\)

                           \(=\frac{1}{4}xsen(4x)-\frac{1}{4}\int{sen(4x)\,dx}\)

                           \(=\frac{1}{4}xsen(4x)-\frac{1}{4}\frac{1}{4}(-cos(4x)+c\)

                           \(=\frac{1}{4}xsen(4x)+\frac{1}{16}cos(4x)+c\)

Finalmente podemos asegurar que

\[\int{xcos(4x)}\,dx=\frac{1}{4}xsen(4x)+\frac{1}{16}cos(4x)+c\]


Bibliografía:

  • Colegio Nacional de Matemáticas (2009). Matemáticas simplificadas, 2ª ed. México: Pearson educación.

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