Integrales inmediatas

 Resolver la  siguiente integral \[ \int x^2{(x+1)^3} \, dx \]

Solución: esta integral se resuelve de forma inmediata, recordemos que las integrales inmediatas son aquellas que se resuelven directamente con las reglas básicas de integración. 


Paso 1 

Desarrollamos el cubo de x+1, es decir

\((x+1)^3=(x)^3+3(x^2)(1)+3(x)(1)^2+(1)^3\)

\((x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1\)

Nota: recordemos el producto notable "el cubo de la suma de dos cantidades"

\((a+b)^3=(a)^3+3(a)^2(b)+3(a)(b)^2+(b)^3\)

 Paso 2

Ahora la integral nos queda de la siguiente manera

 \[ \int x^2(x^3+3x^2+3x+1) \, dx \]

Paso 3

Resolvemos la multiplicación 

\(x^2(x^3+3x^2+3x+1)=x^5+3x^4+3x^3+x^2\)

Paso 4

Reescribimos de nuevo nuestra integral para luego aplicarle los teoremas de integrales inmediatas y determinar su solución.

 \( \int x^2(x^3+3x^2+3x+1) \, dx = \int (x^5+3x^4+3x^3+x^2) \, dx\)

                                                    \(=\int x^5\, dx+3\int x^4\, dx+3\int x^3\, dx+\int x^2\, dx\)

                                                    \(=\frac{x^{5+1}}{5+1}+3\frac{x^{4+1}}{4+1}+3\frac{x^{3+1}}{3+1}+\frac{x^{2+1}}{2+1}+c\)

                                                     \(=\frac{x^{6}}{6}+3\frac{x^{5}}{5}+3\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{3}}{3}+c\)

                                                     \(=\frac{x^{6}}{6}+\frac{3x^{5}}{5}+\frac{3x^{4}}{4}+\frac{x^{3}}{3}+c\)

Bibliografía:

  • Colegio Nacional de Matemáticas (2009). Matemáticas simplificadas, 2ª ed. México: Pearson educación.

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