Aplicaciones de las ecuaciones cuadráticas.

 La ecuación cuadrática tiene la forma $$ ax^2 + bx + c = 0 $$ para resolverla puedes recurrir a las siguientes formas de solución como: 

1) Factorización. 
2) Completación de un trinomio cuadrado perfecto. 
3) Formula general.

La ecuación cuadrática es una excelente herramienta que ayuda a resolver diversos problemas de aplicaciones en diversas áreas.

Por ejemplo: 
Una pelota de beisbol es lanzada directamente hacia arriba con una velocidad inicial de 64 ft/s. El número de pies s sobre el suelo después de t segundos está dado por la ecuación \[ s =-16t^2+64t \].
(a) ¿Cuándo estará la pelota a 48 pies sobre el suelo?
(b) ¿Cuándo regresará al suelo? 

Solución: 
a)¿Cuándo estará la pelota a 48 pies sobre el suelo? Para responder esta pregunta sustituimos s por 48 ft de la siguiente manera.

 \[ 48  =-16t^2+64t \]

o bien 
 
\[ -16t^2+64t=48 \]

Ahora si observamos e igualamos esta ecuación a cero tenemos una ecuación cuadrática que se puede resolver por factorización.

 \[ -16t^2+64t-48=0 \]

Podemos dividir toda la ecuación entre -16 de la siguiente forma.

 \[  \tfrac{-16}{-16} t^2+ \tfrac{64}{-16} t- \tfrac{48}{-16}= \tfrac{0}{-16} \]

Realizamos las simplificaciones correspondientes y obtenemos 

\[ t^2-4t+3=0 \]

Factorizamos atendiendo al caso trinomio de la forma \( x^2+bx+c  \) 

\[ t^2-4t+3=0 \]
\[ (t - 3 )(t - 1 )=0 \]  (Buscamos dos números que multiplicados den 3 y sumados -4)

Aplicamos el teorema del producto cero o nulo que para este caso establece que uno de los paréntesis debe ser igual a cero.

\( t-3=0 \)     o      \(t-1=0 \)

\( t=3 \)     o      \(t=1 \)

Esto quiere decir que existen dos valores para del tiempo t para los cuales la pelota esta a 48 ft sobre el suelo, la explicación a esto es muy sencilla a los 1 segundos en su desplazamiento ascendente y a los 3 segundos en su desplazamiento descendente. 

b) ¿Cuándo regresará al suelo? La pelota regresará al suelo cuando el desplazamiento sea igual a cero, es decir, \( s=0 \) o bien  \( -16t^2+64t =0 \).

Resolveremos esta ecuación por factorización, podemos dividir toda la ecuación entre -16, de la siguiente manera.

\[  \tfrac{-16}{-16} t^2+ \tfrac{64}{-16} t = \tfrac{0}{-16} \] Simplificamos y obtenemos.

\[  t^2 - 4t = 0\] sacamos factor común t y nos queda

\[ t(t - 4) = 0\] 

Aplicamos el teorema del producto cero o nulo que para este caso establece que \( t=0 \)     o      \(t-4=0 \) y resolvemos cada ecuación obteniendo \( t=0 \)   y  \(t=4 \). Esto quiere decir que la pelota estará a de regreso al suelo después de 4 segundos.




Cita bibliográfica:
Swokowski, A. (2009). Álgebra y Trigonometría (12ª edición). Cengage Learning.







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