Integrales por cambio de variables

Resolver la siguiente integral: \[\int csc^2⁡(x)\sqrt{3+cot(x)}\, dx\] 

Solución: esta integral se resuelve por cambio de variables. 

Hacemos: \[u=3+cot(x)\] 

Derivamos u con respecto a x 

"Recordemos que la derivada de una constante, es cero (\(\frac{d3}{dx}=0\)) y la derivada de la cotangente de x, es menos cosecante cuadrada de x (\(\frac{dcot(x)}{dx}=-csc^2(x)\))"

\(\frac{du}{dx}=-csc^2 (x)\)

Multiplicamos por dx a ambos lados de la ecuación 

du=-csc^2 (x)dx 

Multiplicamos por -1 a ambos lados de la ecuación

\(-du=(-csc^2 (x)dx)(-1)\)

\( -du=csc^2 (x)dx \)

Reescribimos nuestra integral original de la siguiente manera, únicamente para facilitar el cambio de variables de u por \(3+cot(x)\) y \(csc^2(x) dx\) por du.

\(\int csc^2 (x)\sqrt{3+cot(x)}\, dx=\int \sqrt{3+cot(x)}  csc^2 (x)\, dx\)

                                                    \(=\int \sqrt{u} \,( -du)\)

Reescribimos esta integral y la resolvemos aplicando los teoremas básicos de las integrales inmediatas

                                                    \(=-\int u^{1/2} \, du\)

                                                      \(=-\frac{ u^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}+c\)

                                                     \(=-\frac{ u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+c\)

                                                     \(=-\frac{2}{3}{ u^{\frac{3}{2}}}+c\)

Finalmente sustituimos u por su valor

                                                    \(=-\frac{2}{3}( 3+cot(x))^{\frac{3}{2}}+c\)

Bibliografía:

• Colegio Nacional de Matemáticas (2009). Matemáticas simplificadas, 2ª ed. México: Pearson educación.