Integrales de funciones exponeciales

Para resolver integrales de funciones exponenciales partimos de la integral inmediata.
 \[\int e^u\,du =e^u+c\]

Este tipo de integrales es posible resolverlas por cambio de variables.

Las integrales por cambio de variables son aquellas integrales que se resuelven haciendo una sustitución de la integral original dada en términos de una variable por otra integral pero esta vez en términos de otra variable y que resulta más fácil de integrar que la integral original. 

Resolver la integra dada:
\[ \int x^2e^{x^3} \, dx \]

Solución: esta integral se resuelve aplicando cambio de variables de la siguiente manera:
Hacemos:

\(u=x^3\)

derivamos u con respecto a x

\(\frac{du}{dx}=3x^2\)

despejamos el diferencial \(x^2dx\)

\(du=3x^2dx\)

\(\frac{du}{3}=x^2dx\)

Reescribimos nuestra integral original de la siguiente manera para facilitar el cambio de variable y sustituimos \(u=x^3\) y \(\frac{du}{3}=x^2dx\)
\[ \int e^{x^3}x^2 \, dx =\int e^{u} \, \frac{du}{3}\]

\[=\frac{1}{3}\int e^u\,du\]


\[=\frac{1}{3}e^u+c\]

Finalmente sustituimos el valor de u en la respuesta final.

\[=\frac{1}{3}e^{x^3}+c\]



Bibliografía:

  • Colegio Nacional de Matemáticas (2009). Matemáticas simplificadas, 2ª ed. México: Pearson educación.

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