Ecuaciones cuadráticas - Instalación de una cerca en un jardín

Un jardín cuadrado se va a cultivar y luego a cerrar con una cerca. Si ésta cuesta $1 por pie y el costo de preparar el suelo es de $0.50 por \( ft^2\), determine el tamaño del jardín que pueda encerrarse a un costo de $120.

Sea x el lado en pies del jardín que tiene forma cuadrada.

El costo total = el costo por el perímetro del cuadrado + el costo de preparar el suelo por pie cuadrado.

\[ 120=1*4x + 0.5*x^2\]

O bien,

\[ 0.5x^2+4x-120=0\]

La fórmula general para resolver una ecuación cuadrática $$ax^2+bx+c=0 $$ es:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

​donde 

\[ a=0.5, b=4 y c=-120\]

Sustituimos estos valores en la formula general

\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(0.5)(-120)}}{2(0.5)} \]

\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{16+240}}{1} \]

\[ x = {-4 \pm \sqrt{256}} \]

​​\[ x = {-4 \pm 16} \]

​​\[ x = -4 + 16=12 \]

​​\[ x = -4 - 16=-20 \]

​​Esta ecuación cuadrática tiene dos soluciones, x=12 y x=-20. Obviamente tomaremos como respuesta correcta el valor de x positivo, es decir que el tamaño del jardín que puede encerrarse debe tener dimensiones cuadradas de 12 pies x 12 pies o 144 pies cuadrados.  

Para comprobar este resultado usamos la ecuación

\[1$*4x + $0.5*x^2=$120\]

Donde sustituimos el valor de x y obtenemos

\[1$*4(12) + $0.5*(12)^2=$120\]

\[$48 + $0.5*144=$120\]

\[$48 + $72=$120\]

\[$120=$120\]


Bibliografía:

Swokowski, A. (2009). Álgebra y Trigonometría (12ª edición). Cengage Learning.

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