Ejemplos prácticos: Cálculo del vértice de una parábola y evaluación de funciones
¡Hola a todos!
En esta entrada, vamos a aplicar los conceptos que hemos discutido previamente sobre funciones cuadráticas y racionales. Te mostraré dos ejemplos resueltos paso a paso: cómo encontrar el vértice de una parábola y cómo evaluar una función en un punto específico.
¡Comencemos!
Ejercicio 1: Encontrar el vértice de una parábola
Encuentra el vértice de la función:
$$f(x) = 2x^2 - 4x - 1$$
Identificamos los coeficientes de la ecuación cuadrática:
$$a = 2, \quad b = -4, \quad c = -1$$
Para encontrar la coordenada \(h\) (el valor de \(x\) del vértice), usamos la fórmula:
$$h = -\frac{b}{2a} = -\frac{(-4)}{2(2)} = \frac{4}{4} = 1$$
Ahora, para encontrar la coordenada \(k\) (el valor de \(y\) del vértice), evaluamos la función en \(x=1\):
$$k = f(1) = 2(1)^2 - 4(1) - 1$$
$$k = 2(1) - 4 - 1$$
$$k = 2 - 4 - 1 = -3$$
Por lo tanto, el vértice de la parábola es \((1, -3)\).
Ejercicio 2: Evaluar una función racional
Evalúa la función $$f(x) = \frac{3x-1}{5-x}$$ en $$x = \frac{7}{2}$$.
Sustituimos el valor de \(x\) en la función:
$$f\left(\frac{7}{2}\right) = \frac{3\left(\frac{7}{2}\right) - 1}{5 - \frac{7}{2}}$$
$$= \frac{\frac{21}{2} - 1}{\frac{10}{2} - \frac{7}{2}}$$
$$= \frac{\frac{21-2}{2}}{\frac{10-7}{2}}$$
$$= \frac{\frac{19}{2}}{\frac{3}{2}}$$
Para resolver esta fracción de fracciones, multiplicamos el numerador por el inverso del denominador:
$$= \frac{19}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{19}{3}$$
El resultado de evaluar la función en \(x=\frac{7}{2}\) es \(\frac{19}{3}\).
Espero que estos ejemplos te hayan sido de gran utilidad para entender cómo aplicar las fórmulas para encontrar el vértice de una parábola y cómo evaluar una función en un punto dado.
Bibliografia:
Colegio Nacional de Matemáticas (2009). Matemáticas simplificadas, 2ª ed. México: Pearson educación.
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