Dos ejemplos paso a paso de integrales inmediatas: funciones con exponentes fraccionarios

¡Hola a todos!

El cálculo integral es una rama fundamental de las matemáticas que nos permite resolver problemas que van desde el cálculo de áreas y volúmenes hasta el modelado de fenómenos físicos y económicos. Una de las herramientas más poderosas en esta área es la integral indefinida o antiderivada, que nos ayuda a revertir el proceso de la derivación.

En esta entrada, vamos a aplicar la regla de la potencia para resolver dos ejercicios de integración. Esta regla es la base para resolver una gran variedad de integrales de polinomios y funciones con exponentes. 

Recuerda que la practica hace al maestro y que uno de los beneficios de practicar matemáticas es que ayuda a mejorar los niveles de concentración y disciplina, habilidades esenciales para cualquier persona.

Ejercicio 1:

El primer ejercicio es la integral:

\[\int \frac{y^{7/2} - y^{5/2} - y^{1/4}}{y^2} dy\]

El primer paso es separar la integral en tres partes, dividiendo cada término del numerador por el denominador:

\[\int \left( \frac{y^{7/2}}{y^2} - \frac{y^{5/2}}{y^2} - \frac{y^{1/4}}{y^2} \right) dy\]

Simplificando los exponentes:

\[\int (y^{7/2 - 2} - y^{5/2 - 2} - y^{1/4 - 2}) dy\]

\[\int (y^{3/2} - y^{1/2} - y^{-7/4}) dy\]

Ahora separamos la integral en tres integrales más simples:

\[\int y^{3/2} dy - \int y^{1/2} dy - \int y^{-7/4} dy\]

Aplicamos la regla de la potencia para la integración, que es \(\int y^n dy = \frac{y^{n+1}}{n+1} + C\):

\[\frac{y^{3/2 + 1}}{3/2 + 1} - \frac{y^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} - \frac{y^{-7/4 + 1}}{-7/4 + 1} + C\]

Simplificando los exponentes y los denominadores:

\[\frac{y^{5/2}}{5/2} - \frac{y^{3/2}}{3/2} - \frac{y^{-3/4}}{-3/4} + C\]

Finalmente, reescribimos la expresión multiplicando por el reciproco de cada denominador:

\[\frac{2}{5} y^{5/2} - \frac{2}{3} y^{3/2} + \frac{4}{3} y^{-3/4} + C\]

O, alternativamente, se puede escribir el último término con exponente positivo:

\[\frac{2}{5} y^{5/2} - \frac{2}{3} y^{3/2} + \frac{4}{3y^{3/4}} + C\]


Ejercicio 2:

El segundo ejercicio es la integral:

\[\int (y^{5/2} - 5y^{4/3} - 2y^{1/4} - \sqrt{y}) dy\]

Primero, reescribimos el término de la raíz cuadrada en forma de exponente:

\[\int (y^{5/2} - 5y^{4/3} - 2y^{1/4} - y^{1/2}) dy\]

Ahora separamos la integral en cuatro partes, sacando las constantes fuera de la integral:

\[\int y^{5/2} dy - 5 \int y^{4/3} dy - 2 \int y^{1/4} dy - \int y^{1/2} dy\]

Aplicamos la regla de la potencia para la integración:

\[\frac{y^{5/2 + 1}}{5/2 + 1} - 5 \frac{y^{4/3 + 1}}{4/3 + 1} - 2 \frac{y^{1/4 + 1}}{1/4 + 1} - \frac{y^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} + C\]

Simplificando los exponentes y los denominadores:

\[\frac{y^{7/2}}{7/2} - 5 \frac{y^{7/3}}{7/3} - 2 \frac{y^{5/4}}{5/4} - \frac{y^{3/2}}{3/2} + C\]

Finalmente, reescribimos la expresión multiplicando por el reciproco de cada denominador:

\[\frac{2}{7} y^{7/2} - 5 \cdot \frac{3}{7} y^{7/3} - 2 \cdot \frac{4}{5} y^{5/4} - \frac{2}{3} y^{3/2} + C\]

\[\frac{2}{7} y^{7/2} - \frac{15}{7} y^{7/3} - \frac{8}{5} y^{5/4} - \frac{2}{3} y^{3/2} + C\]


Para la resolución de estos problemas, he consultado las siguientes referencias, que recomiendo ampliamente para profundizar en el tema:


Colegio Nacional de Matemáticas (2009). Matemáticas simplificadas, 2ª ed. México: Pearson educación.

Swokowski, E. W., & Cole, J. (2009). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica (Décimo Segunda edición). Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.


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