Cómo calcular la altura máxima de un objeto: El movimiento parabólico de un balón

¡Hola a todos y bienvenidos de nuevo! 

En esta entrada veremos una de las aplicaciones de las funciones cuadráticas, específicamente en el movimiento parabólico que realiza un balón al ser pateado tal como lo describe el siguiente problema.

Problema:

Un jugador de fútbol patea una pelota. La altura (\(h\)) de la pelota sobre el suelo, en metros, en función del tiempo \(t\), en segundos, está dada por la ecuación:

$$h(t) = -5t^2 + 20t + 1$$

Donde \(t=0\) es el momento en que la pelota es pateada.

  • ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota y en qué momento la alcanza?
  • ¿Cuál es la altura que tenía la pelota al momento de ser pateada?
  • ¿Qué momento la  pelota toca el suelo después de ser pateada?
  •  Realiza la gráfica de la función que representa el movimiento de la pelota para los valores de $$t = 0, 1, 2, 3, 4$$.

Solución:

a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota y en qué momento la alcanza?

Para encontrar el momento en que la pelota alcanza su altura máxima, se utiliza la fórmula para la coordenada \(t\) del vértice de una parábola, que es $$t_{max} = \frac{-b}{2a}$$.

De la ecuación $$h(t) = -5t^2 + 20t + 1$$, tenemos $$a = -5$$ y $$b = 20$$.

Sustituyendo estos valores en la fórmula:

$$t_{max} = \frac{-20}{2(-5)} = \frac{-20}{-10} = 2 \text{ segundos}$$

La pelota alcanza su altura máxima a los $$\textbf{2 segundos}$$.


Ahora, para encontrar la altura máxima, se evalúa la función \(h(t)\) en el momento \(t = 2\) segundos:

$$h(2) = -5(2)^2 + 20(2) + 1$$

$$h(2) = -5(4) + 40 + 1$$

$$h(2) = -20 + 40 + 1$$

$$h(2) = 21 \text{ metros}$$

La altura máxima que alcanza la pelota es de $$\textbf{21 metros}$$.


b) ¿Cuál es la altura que tenía la pelota al momento de ser pateada?

Para saber la altura máxima que tenía la pelota al momento de ser pateada se evalúa la función dada en \(t=0\)

$$h(0) = -5(0)^2 + 20(0) + 1$$

$$h(0) =1$$

Es decir que la pelota tenía una altura de 1 metro al momento de ser pateada.

c) ¿Qué momento la  pelota toca el suelo después de ser pateada?

Para saber el momento en que la pelota toca el suelo la altura debe ser igual a cero, es decir, \(h(t)=0\), por lo que se debe resolver la siguiente ecuación de segundo grado.


$$ -5t^2 + 20t + 1=0$$


Si la ecuación anterior la multiplicamos por -1, obtenemos:


$$5t^2 - 20t -1=0$$


Esta ecuación no se puede resolver fácilmente por factorización, por lo que usamos la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

$$t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$


De la ecuación \(5t^2 - 20t - 1 = 0\), identificamos los valores de \(a\), \(b\) y \(c\):

$$a = 5, \quad b = -20, \quad c = -1$$


Sustituyendo estos valores en la fórmula, obtenemos:

$$t = \frac{-(-20) \pm \sqrt{(-20)^2 - 4(5)(-1)}}{2(5)}$$


$$t = \frac{20 \pm \sqrt{400 + 20}}{10}$$


$$t = \frac{20 \pm \sqrt{420}}{10}$$


Calculando los dos posibles valores para \(t\):

$$t_1 = \frac{20 + \sqrt{420}}{10} \approx \frac{20 + 20.49}{10} \approx 4.05$$

$$t_2 = \frac{20 - \sqrt{420}}{10} \approx \frac{20 - 20.49}{10} \approx -0.05$$


Debido a que el tiempo no puede ser un valor negativo, la solución correcta es \(t = 4.05\) segundos.


d) Tabla de valores y gráfica

Para graficar la función, se construye una tabla de valores para los tiempos $$t=0, 1, 2, 3, 4$$:


Para  \(t=0\): \(f(0) = -5(0)^2 + 20(0) + 1 = 1\).

Para \(t=1\): \(f(1) = -5(1)^2 + 20(1) + 1 = -5 + 20 + 1 = 16\)

Para \(t=2\): \(f(2) = -5(2)^2 + 20(2) + 1 = -20 + 40 + 1 = 21\)

Para \(t=3\): \(f(3) = -5(3)^2 + 20(3) + 1 = -45 + 60 + 1 = 16\)

Para \(t=4\): \(f(4) = -5(4)^2 + 20(4) + 1 = -80 + 80 + 1 = 1\)

t h(t)

0 0

1 16

2 21

3 16

4 1


En el plano cartesiano se grafican las siguientes coordenadas

        (0, 1)

        (1, 16)

        (2, 21)

        (3, 16)

        (4, 1)

Los puntos y la función se han realizado en GeoGebra.

Grafica generada en GeoGebra


Puede ser interesante si resuelven el ejercicio aplicando Simulink de Matlab
Diagrama de bloques y grafica generado en Simulink de Matlab.



 Espero que esta entrada les sea de gran ayuda para su auto estudio. 


¡Hasta pronto!


Colegio Nacional de Matemáticas (2009). Matemáticas simplificadas, 2ª ed. México: Pearson educación.

Swokowski, E. W., & Cole, J. (2009). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica (Décimo Segunda edición). Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

Equipo de Desarrollo de GeoGebra. (2025). GeoGebra (versión 6.0). Recuperado de https://www.geogebra.org/

The MathWorks, Inc. (2025). MATLAB Online. Recuperado de https://www.mathworks.com/products/matlab-online.html




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